自动控制原理上课笔记（不定期更新）

前言

根据上课 ppt 做的笔记，不定期更新

自动控制的一般概念

自动控制指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象（plant））的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行

以反馈控制原理为基础，以传递函数为工具，主要研究单输入、单输出反馈控制系统的理论问题，又常称为反馈控制理论

• 开环控制
• 反馈/闭环控制
• 复合控制

线性系统满足叠加原理和齐次性（均匀性）

线性系统的数学描述：
线性函数，如线性微分方程、线性差分方程、线性代数方程

在理想情况下，自控系统的被控量和给定值，在任何时候相等，没有误差，也不受干扰的影响，即 c(t)≡r(t)

一般来说整个调节过程分为两个阶段：

1. 动/暂态过程:反映系统的动态特性（输出量处于激烈变化之中）
2. 稳态过程:反映系统的稳态特性（输出量稳定在新的平衡状态并保持不变）

系统的稳定性表现为时域响应的收敛性

• 稳 指系统重新恢复平衡工作状态的能力（稳定性） 和动态过程的振荡倾向（平稳性）

• 快 指动态过程进行的时间长短(快速性)

• 准 系统过渡到新的平衡状态后或系统受扰重新恢复平衡之后（过渡过程结束），系统所保持的精度(准确性)

控制系统的数学模型

数学模型的类型：动态模型、静态模型

• 静态模型：代数方程 在静态条件下(即变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程
• 动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等

控制系统属于动态系统

• 描述连续系统运动输入输出关系的为微分方程
• 描述离散系统运动输入输出关系的为差分方程
• 描述输入、输出和内部各变量间关系的为状态方程

时 域：微分方程（差分方程）
复数域：传递函数（脉冲传递函数）
频 域：频率特性

列写元件微分方程的步骤可归纳如下：

1. 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量
2. 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程
3. 消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列

建立控制系统的微分方程时
一般先由系统原理线路图画出系统方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程

列写系统各元件的微分方程时
一是应注意信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送
二是应注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应

微分方程的解 = 齐次微分方程的通解 + 非齐次微分方程的任一特解

用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：

• 考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,将变量 t (时域)的微分方程转换为变量 s (复域)的代数方程
• 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式
• 对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得到输出量时域表达式，即为所求微分方程的解

将非线性微分方程线性化——小偏差法

• 实际工作点在某一平衡点 (x0，y0) 附近

• 非线性 y = f(x) 连续可导

• x 在一个很小的范围内变化，$\Delta x$ 很小（小偏差）

• 可列写线性化增量方程

  $\Delta y=K\Delta x，K=\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

线性定常系统传递函数的定义

零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比

• 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；m≤n 且所有系数均为实数

• 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息

• 传递函数与微分方程具有相通性

  • 传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应
  • 故将微分方程的算符 $\frac{d}{dt}$ 用复数 s 置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算符 $\frac{d}{dt}$ 置换便得到微分方程

传递函数是在零初始条件下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义：

• 指输入量是在 t≥0 时才作用于系统，因此，输入量及其各阶导数在 t=0 时均为零；

• 指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在t =0 时的值也为零，现实的工程控制系统多属此类情况。因此，传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有
  $$c(t)=L^{-1}[C(s)]=L^{-1}[G(s)R(s)]={\int }_0^{t}r(\tau )g(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{t}r(t-\tau )g(\tau )d\tau$$

式中，$g(t)=L^{-1}[G(s)]$是系统的脉冲响应

传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)
脉冲响应（也称脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲$\delta (t)$输入时的输出响应

传递函数的表达形式

• 一般表达形式
  $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n}=\frac{M(s)}{N(s)}$$

• 零-极点表达形式——最高阶次项系数为1
  $$G(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}=K^{\ast }\frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}$$
  系数$K^{\ast }=b_0/a_0$称为传递系数或根轨迹增益。这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多

  在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图。在图中一般用“o”表示零点，用“×”表示极点。传递函数零极点分布图可以更形象地反映系统的全面特性。

• 典型环节形式——常数项系数为1
  $$G(s)=\frac{b_m({\tau }_{1}s+1)({\tau }_{2}s+1)...({\tau }_{m}s+1)}{a_n(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)...(T_{n}s+1)}=K\frac{{\prod }_{i=1}^m({\tau }_{i}s+1)}{{\prod }_{j=1}^n(T_{j}s+1)}$$
  K称传递系数或增益，传递函数这种表示形式在频率法中使用较多

传递函数的极点就是微分方程的特征根
极点/特征根决定了所描述系统自由运动(零输入响应)的模态

传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态响应中所占的比重(系数)，因而也影响响应曲线的形状

• 强迫运动(零初始条件响应)

• 自由运动(零输入响应),是系统“固有”的成分

典型环节

• 比例环节

• 积分环节

• 惯性环节（非周期环节）

• 振荡环节

  $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{w_n}^2}{s^2+2\zeta w_{n}s+{w_n}^2}=\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$$

• 微分环节

  • 理想微分环节（与积分环节对应）
  • 一阶微分环节（与惯性环节对应）
  • 二阶微分环节（与振荡环节对应）

• 延迟环节

  • 时域表示 $c(t)=r(t-\tau )l(t-\tau )$
  • 复域表示 $G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}$

无源网络：为了改善控制系统的性能，常在系统中引入无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容和电感组成

控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四种基本单元：

• 信号线:信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数
• 引出点(或测量点):引出点表示信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同
• 比较点(或综合点):比较点表示对两个以上的信号进行加减运算, + 号表示相加, - 号表示相减, + 号可省不写
• 方框(或环节):方框表示对信号进行的数学变换,方框中写入元部件/系统传递函数;方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积,即C(s)=G(s)U(s) 。因此,方框可视作单向运算的算子

系统结构图也是控制系统的一种数学模型

建议：第1个方程最好能包含输入,相加点,输出

信号流图与结构图

• 节点表示系统的变量
• 支路相当于乘法器

前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路

前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用 $p_k$ 表示

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路

回路增益:回路中所有支路增益之乘积叫回路增益,用 $L_a$ 表示

不接触回路：回路与回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。可以有两个或两个以上不接触的回路

不接触回路增益: $L_b{L}_c$ 为所有互不接触的单独回路中,每次取其中2个回路的回路增益的乘积; $L_d{L}_e{L}_f$ 为所有互不接触的单独回路中,每次取其中3个回路的回路增益的乘积

梅森增益公式

求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为：
$$P=\frac{1}{\Delta }\sum _{k=1}^n{p}_k{\Delta }_k$$

• P 为从源节点到阱节点的传递函数(或总增益)
• n 为从源节点到阱节点的前向通路总数
• $p_k$ 为从源节点到阱节点的第k条前向通路总增益
• $\Delta$ 为流图特征式，$\Delta =1-\sum L_a+\sum L_b{L}_c-\sum L_d{L}_e{L}_f+\dots$
  • $\sum L_a$为所有单独回路增益之和
  • $\sum L_b{L}_c$为所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和
  • $\sum L_d{L}_e{L}_f$为所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和
• ${\Delta }_k$为流图特征式的余因子式，它等于流图特征式$\Delta$中除去与第k条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式

为了研究有用输入作用对系统输出C(s)的影响，需要求有用输入作用下的闭环传递函数C(s)/R(s)。同样，为了研究扰动作用N(s)对系统输出C(s)的影响，也需要求取扰动作用下的闭环传递函数C(s)/N(s)

此外，在控制系统的分析和设计中，还常用到在输入信号 R(s) 或扰动 N(s) 作用下，以误差信号 E(s) 作为输出量的闭环误差传递函数 E(s)/R(s) 或E(s)/N(s)

在一定条件下，系统的输出只取决于反馈通路传递函数 H(s) 及输入信号R(s)，既与前向通路传递函数无关，也不受扰动作用的影响。特别是当H(s)=1，即单位反馈时，C(s) ≈ R(s)，从而近似实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。

绝不允许将各种闭环传递函数进行叠加后求其输出响应

线性系统的时域分析法

线性系统的稳定性分析

线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若 $t\to \infty$ 时，脉冲响应：
$$\underset{t\to \infty }{\lim }c(t)=0$$
即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的

根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可叙述如下：
若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定

线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面

若特征根中具有一个或一个以上零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则脉冲响应c(t)趋于常数，或趋于等幅正弦振荡，按照稳定性定义，此时系统不是渐近稳定的，处于稳定和不稳定的临界状态，常称为临界稳定情况

在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为稳定系统；否则，称为不稳定系统

线性系统稳定的充分且必要条件是：劳思表中第一列各值为正
如果劳思表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目

线性系统的稳态误差计算

• 控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量，通常称为稳态性能指标
• 在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标
• 对于一个实际的控制系统，由于系统结构、输入作用的类型(控制量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置
• 此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差
• 可以说，控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量减小系统的稳态误差，或使稳态误差小于某一容许值

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义

• 把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统

• 非线性因素所引起的系统稳态误差，则称为附加稳态误差，或结构性稳态误差

• 稳态——时间t趋于无穷大时系统的输出状态

• 误差——系统实际输出与期望输出之差

• 稳态误差——对于稳定的系统，暂态响应随时间的增长而衰减，当衰减到可以忽略的程度时，则希望的稳态响应与实际的稳态响应之差称为稳态误差。稳态误差是系统达到稳态时，系统精度的度量

稳态误差定义
$$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }\epsilon (t)=\underset{t\to \infty }{\lim }(c_0(t)-c(t))$$
因系统的输入可分为给定和扰动输入，所以稳态误差也可分为给定稳态误差和扰动稳态误差

• 对于随动系统，给定的参考输入是变化的，要求输出严格跟随输入（给定）的变化，则其响应的希望值就是给定的参考输入值。所以，一般以系统的给定稳态误差去衡量随动系统的稳态性能
• 对于恒值调节系统，一般给定不变，主要考虑扰动的作用。所以，一般以扰动稳态误差去衡量恒值调节系统的稳态性能

误差：是从系统输出端来定义，它定义为系统输出量的希望值与实际值之差：
$$\epsilon (s)=C_0(s)-C(s)$$
偏差：是在系统输入端来定义，定义为系统给定量与反馈量之差：
$$E(s)=R(s)-B(s)=H(s)\epsilon (s)$$
偏差值与误差值的差别为H(s)

对于单位反馈系统，偏差与误差的值是一样的

一般地用偏差代替误差
$${\epsilon }_{ss}(\infty )=e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{t\to \infty }{\lim }(r(t)-b(t))$$

• 在误差信号e(t)中，包含瞬态分量$e_{ts}(t)$和稳态分量$e_{ss}(t)$两部分
• 由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时，必有$e_{ts}(t)$趋于零
• 因而，控制系统的稳态误差（终值）定义为：误差信号e(t)的稳态分量$e_{ss}(\infty )$，常以$e_{ss}$简单标志

如果有理函数sE(s)除在原点处有惟一的极点外，在s右半平面及虚轴上处处解析(即不存在极点)，即sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)，则可根据拉氏变换的终值定理，方便地求出系统的稳态误差：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)$$
上式算出的稳态误差是误差信号e(t)的稳态分量$e_{ss}(t)$在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差或稳态误差终值，它不能反映e(t)随时间 t 的完整变化规律，具有一定的局限性

当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构

在一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数$G_k$可表示为：
$$G(s)=G(s)H(s)=\frac{k{\prod }_{i=1}^m({\tau }_{i}s+1)}{s^v{\prod }_{j=1}^n(T_{j}s+1)}(n\ge m)$$
式中，K为开环增益；${\tau }_i$ 和 $T_j$ 为时间常数；$v$为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。现在的分类方法是以$v$的数值来划分的：$v$ =0，称为0型系统；$v$ =1，称为I型系统；$v$ =2，称为II型系统。当$v$ >2时，除复合控制系统外，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，III型及III型以上的系统几乎不采用。
这种以开环系统在 s 平面坐标原点上的极点数来分类的方法，其优点在于：可以根据已知的输入信号形式迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。它与按系统的阶次进行分类的方法不同，阶次m与n的大小与系统的型别无关，且不影响稳态误差的数值

系统的静态位置误差系数$K_p$：$k_p={\lim }_{s\to 0}{G}_k(s)$

系统的静态速度误差系数$K_v$：$k_v={\lim }_{s\to 0}s{G}_k(s)$

系统的静态加速度误差系数$K_a$：$k_a={\lim }_{s\to 0}{s}^2{G}_k(s)$

如果系统为非单位反馈系统，其$H(s)＝K_h$为常数，那么系统输出量的希望值为$R’(s)=R(s)/K_h$，系统输出端的稳态位置误差为：$e_{ss}^{\prime }=e_{ss}/K_h$

给定稳态误差级数 （动态误差系数）

利用动态误差系数法，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差变化，因此动态误差系数又称广义误差系数。为了求取动态误差系数，写出稳态误差信号的拉氏变换式：$E(s)={\Phi }_e(s)R(s)$

将误差传递函数在${\Phi }_e(s)＝0$的邻域内展成泰勒级数，得：
$${\Phi }_e(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}={\Phi }_e(0)+{\dot{\Phi }}_e(0)s+\frac{1}{2!}{\ddot{\Phi }}_e(0)s^2+\cdots$$
于是
$$E(s)={\Phi }_e(0)R(s)+{\dot{\Phi }}_e(0)sR(s)+\frac{1}{2!}{\ddot{\Phi }}_e(0)s^{2}R(s)+\cdots +\frac{1}{l!}{\Phi }_e^{(l)}(0)s^{l}R(s)+\cdots$$
上述无穷级数收敛于s＝0的邻域，称为给定输入作用下的稳态误差级数，相当于在时间域内$t\to \infty$时成立。因此，当所有初始条件均为零时，对上式进行拉氏反变换，就得到作为时间函数的稳态误差表达式：
$$\begin{gathered} e_{ss}(t)=\sum _{i=0}^{\infty }{C}_i{r}^{(i)}(t) \\ {C}_i=\frac{1}{i!}{\Phi }_e^{(i)}(0) \\ i=0,1,2,\cdots \end{gathered}$$

为了 减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差，可以采取以下措施：

1. 增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益

   增大系统开环增益K以后，对于0型系统，可以减小系统在阶跃输入时的位置误差；对于I型系统，可以减小系统在斜坡输入时的速度误差；对于Ⅱ型系统，可以减小系统在加速度输入时的加速度误差

   增大扰动点之后系统的前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差数值

2. 在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节

   扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点之后前向通道的积分环节数无关

   反馈控制系统中，设置串联积分环节或增大开环增益以消除或减小稳态误差的措施，必然导致降低系统的稳定性，甚至造成系统不稳定，从而恶化系统的动态性能

3. 采用串级控制抑制内回路扰动

   当控制系统中存在多个扰动信号，且控制精度要求较高时，宜采用串级控制方式，可以显著抑制内回路的扰动影响

4. 采用复合控制方法

   复合控制系统是在系统的反馈控制回路中加入前馈通路，组成一个前馈控制与反馈控制相结合的系统

一阶系统的时域分析

线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应，均可分解为零输入响应与零状态响应之和
$$y(t)=y_{zi}+y_{zs}$$

• $y_{zi}$：零输入响应

  • 只与系统的极点类型和分布有关，与系统的零点无关，与系统的初始条件有关

  • 反映系统的稳定性

• $y_{zs}$：零状态响应

  • 在时域：表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积
  • 在复数域：表示为传递函数与输入信号拉氏变换的乘积
  • 与系统的零极点都有关，还与输入信号的性质有关
  • 反映系统的稳定性、暂态（快速及平稳性）及稳态（准确）特性

微分方程 $T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)$

开环传函 $G_k(s)=\frac{1}{Ts}$

闭环传函 $\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}$

特征方程 $Ts+1=0$

单位阶跃响应

$t=3T,c(t)=0.95$ —— 5%误差带

$t=4T,c(t)=0.98$ —— 2%误差带

• 可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值

• 初始斜率为1/T

• 无超调

• 稳态误差 $e_{ss}=0$

单位脉冲响应

• 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值
• 初始斜率为 $-1/T^2$
• 无超调
• 稳态误差 $e_{ss}=0$

单位斜坡响应

出现稳态误差($e_{ss}=T$)

一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪

• 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数
• 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定

二阶系统的时域分析

• 微分方程

$$\begin{gathered} T^2\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2\zeta T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t) \\ \frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2\zeta w_n\frac{dc(t)}{dt}+w_n^{2}c(t)=w_n^{2}r(t) \end{gathered}$$

• 开环传函

$$G_k(s)=\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_{n}s}$$

• 闭环传函

$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{w_n}^2}{s^2+2\zeta w_{n}s+{w_n}^2}=\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$$

• 特征方程的根

$$s_{1,2}=-\zeta w_n\mp j{w}_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$

• ζ=0，无（零）阻尼

• 0<ζ<1，欠阻尼

• ζ=1，临界阻尼（重极点）

• ζ>1，过阻尼

• 由于阻尼比ξ为负，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，从而表明$\zeta <0$的二阶系统是不稳定的

• 如果ξ＝0，则特征方程有一对纯虚根,$s_{1,2}=\pm j{w}_n$，对应于 s 平面虚轴上一对共轭极点，可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡，此时系统相当于无阻尼情况

• 如果$0<\zeta <1$，则特征方程有一对具有负实部的共轭复根，$s_{1,2}=-\zeta w_n\mp j{w}_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ ，对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为衰减振荡过程，此时系统处于欠阻尼情况

  • 系统特征方程既有实部也有虚部，其单位阶跃响应既有振荡成分也有衰减成分，是一个随时间t的增长，振幅按指数规律衰减的周期函数（衰减振荡曲线）

• 如果ξ＝1，则特征方程具有两个相等的负实根，$s_{1,2}=-w_n$，对应于s平面负实轴上的两个相等实极点，相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出，此时系统处于临界阻尼情况。

• 如果ξ>1，则特征方程有两个不相等的负实根 $s_{1,2}=-\zeta w_n\pm w_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$ ，对应于s平面负实轴上的两个不等实极点，相应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出，但响应速度比 1 临界阻尼情况缓慢，因此称为过阻尼情况

二阶控制系统的设计，一般取ξ=0.4～0.8

二阶系统的单位阶跃响应

• 根的实部反应在响应的指数部分（模态形状:是否衰减）

• 根的虚部反应在响应的正弦部分（模态形状:是否振荡）

  $\zeta =0$ 临界稳定状态

  ξ≈0.707 时调节时间最短（称为最佳阻尼比）

$$s_{1,2}=-\zeta w_n\pm j{w}_n\sqrt{1-{\zeta }^2}=-\sigma \pm j{w}_d$$

• 衰减系数$\sigma$(实部)是闭环极点到虚轴之间的距离

• 阻尼振荡频率$w_d$ (虚部)是闭环极点到实轴之间的距离

  $w_d=w_n(\sqrt{1-{\zeta }^2})$

• 自然频率$w_n$是闭环极点到坐标原点之间的距离

  $w_n$与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比ξ，即 $\cos \phi =\zeta$

结论：调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而加大自然频率值，则可在不改变超调量的情况下缩短调节时间

欠阻尼二阶系统阶跃响应

• 峰值时间 $t_p=\frac{\pi }{w_d}=\frac{\pi }{w_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$ 与根（极点）的虚部成反比

• 超调量 ${\sigma }_p=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$

• 上升时间 $t_r=\frac{\pi -\phi }{w_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$ 第一次达到稳态值时的时间

• 调节时间 $t_s=\frac{3.5}{\zeta w_n}(\Delta =5\%)$ $t_s=\frac{4.4}{\zeta w_n}(\Delta =2\%)$

  调节时间与闭环极点的实部数值成反比

• 延迟时间 $t_d\approx \frac{1+0.7\zeta }{w_n}$ 或 $t_d\approx \frac{1+0.6\zeta +0.2{\zeta }^2}{w_n}$ 第一次达到稳态值一半的时间

  延迟时间与震荡频率成反比，与ξ成正比

由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定

对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离（$\zeta w_n$）决定响应的快速性

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零

添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响

添加闭环零点

• 输出响应的变化率越大微分作用便越强，零点的影响就越大；闭环零点离虚轴越近，影响就越显著，若零点离虚轴越远则影响就越弱
• 一般而言，添加闭环零点，使响应加快，震荡加剧，超调增大。零点越靠近虚轴，作用越明显

添加开环零点增大阻尼比，不影响系统的稳定性，系统的动态性能可以得到改善，不改变系统的稳态精度

• 比例微分控制（在前向通道中添加零点）不影响系统的稳定性
• 比例微分控制（添加开环零点）可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强；可以使闭环增加同样的零点，从而使系统响应加快；比例微分控制（添加开环零点）可以全面改善系统的动态响应特性
• 比例（$k_p=1$）微分控制（添加开环零点）不影响系统的稳态精度
• 比例微分控制（添加开环零点）主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能

输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例一微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能

• 微分负反馈控制器不影响系统的稳定性
• 微分负反馈控制器可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强、使系统调节时间加快；微分负反馈控制器可以改善系统的动态响应特性
• 微分负反馈控制器降低系统的稳态精度
• 微分负反馈控制器主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能，但会增大稳态误差
• 为了减小稳态误差，必须加大原系统的开环增益，而使$K_t$单纯用来增大系统阻尼

比例-微分控制与测速反馈控制的比较

• 附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值
• 使用环境：比例-微分控制对噪声有明显放大作用，当系统输入端噪声严重时，不宜选用比例-微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛
• 对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振
• 对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量

线性系统的根轨迹法

根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从0变到$\infty$时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。

根轨迹的分类：

180度根轨迹 、参数根轨迹、零度根轨迹、根轨迹簇

当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点

从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题

因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求

根轨迹法应用前提条件是受控系统的传递函数没有零极点相消

• 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益
• 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点
• 闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增益均有关

根轨迹是系统所有闭环极点的集合
$$\text{根轨迹方程 }{K}^{\ast }\frac{{\prod }_{j=1}^m(s-z_j)}{{\prod }_{i=1}^n(s-p_i)}=-1$$
模值条件：
$$K^{\ast }=\frac{{\prod }_{i=1}^n|s-p_i|}{{\prod }_{j=1}^m|s-z_j|}$$
相角条件：180度相角差

• 由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益 $K^{\ast }$ 的函数，所以当 $K^{\ast }$ 从零到无穷大连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程式根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性

• 根轨迹必对称于实轴的原因是显然的，因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是根的集合，因此根轨迹对称于实轴

• 根据对称性，只需做出上半 s 平面的根轨迹部分，然后利对称关系就可以画出下半 s 平面的根轨迹部分

• 一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点

• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点

• 同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点

180度根轨迹绘制法则

对于特定$K^{\ast }$值下的闭环极点，可用模值条件确定

在控制系统中，除根轨迹增益 $K^{\ast }$ 以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。包括：

• 参数根轨迹
• 零度根轨迹
• 非最小相位系统根轨迹

通常，将负反馈系统中$K^{\ast }$由零变到无穷大时的根轨迹叫做常规根轨迹（或180度根轨迹）

以非开环增益/根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益K/根轨迹增益$K^{\ast }$为可变参数的常规根轨迹

一般说来，零度根轨迹的来源有两个方面：

1. 是非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子
2. 是控制系统中包含有正反馈内回路

零度根轨迹绘制法则

如果系统的所有开环极点和零点都位于s平面的左半平面，则称为最小相位系统。
若系统的开环传递函数在右半S平面有零点或极点，则该系统称为非最小相位系统

• 正反馈系统
• 具有正反馈性质的系统
• 具有右半s平面极零点

闭环零点对系统动态性能的影响，相当于减小闭环系统的阻尼，从而使系统的过渡过程有出现超调的趋势，并且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的程度而加强

在开环系统中增加极点，会使根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调节时间

如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零、极点常称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，而复数偶极子必共轭出现

不难看出，只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微，从而可以忽略它们的存在

闭环零点的存在，将使系统的峰值时间提前，这相当于减小闭环系统的阻尼，从而使超调量加大，当闭环零点接近坐标原点时，这种作用尤甚

一般说来，闭环零点对调节时间的影响是不定的

闭环实数主导极点对系统性能的影响是：闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，使峰值时间迟后，超调量下降

如果实数极点比共轭复数极点更接近坐标原点，甚至可以使振荡过程变为非振荡过程

线性系统的频域分析法

频域特性

控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。频域分析法具有以下特点：

• 控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行
• 频率特性物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系
• 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求
• 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性控制系统

在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，称为幅值比 $A(w)$ 和相位差 $\phi (w)$ ， 且皆为输入正弦信号频率 $w$ 的函数
$$\{\begin{array}{c}A(w)=\left|G(jw)\right|\\ \phi (w)=\angle G(jw)\end{array}$$
表明，对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，而幅值和相位的变化是频率 $w$ 的函数，且与系统数学模型相关。
为此，定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比 $A(w)$ 为幅频特性，相位之差 $\phi (w)$ 为相频特性，并称其指数表达形式：
$$G(jw)=A(w)e^{j\phi (w)}$$
为系统的频率特性

频率特性的定义既可以适用于稳定系统，也可适用于不稳定系统。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定，即在系统的输入端施加不同频率的正弦信号，然后测量系统输出的稳态响应，再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性曲线。频率特性也是系统数学模型的一种表达形式

对于不稳定系统，输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量，所以不稳定系统的频率特性不能通过实验方法确定

频率特性定义（物理意义）

稳定系统的频率特性为零初始条件下，输出和输入的傅氏变换之比
$$G(jw)=\frac{C(jw)}{R(jw)}=G(s){|}_{s=jw}$$
在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线有以下三种：

• 幅相频率特性曲线

  • 又称为幅相曲线或极坐标图或奈奎斯特曲线（Nyquist Plot）

  • 以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。对于任一给定的频率 $w$ ， 频率特性值为复数。若将频率特性表示为实数和虚数的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值

  • 若将频率特性表示为复指数形式，则为复平面上的向量，而向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位

  • 由于幅频特性为 $w$ 的偶数，相频特性为 $w$ 的奇函数，则 $w$ 从零变化至 $+\infty$ 和 $w$ 从零变化至 $-\infty$ 的幅相曲线关于实轴对称，因此一般只绘制 $w$ 从零变化至 $+\infty$ 的幅相曲线

  • 在系统幅相曲线中，频率 $w$ 为参变量，一般用小箭头表示 $w$ 增大时幅相曲线的变化方向

• 对数频率特性曲线

  • 又称为伯德曲线或伯德图（Bode Diagram）

  • 对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成

  • 对数频率特性曲线的横坐标按 $\lg w$ 分度，单位为弧度/秒(rad/s)

  • 对数幅频曲线的纵坐标按：
    $$\text{对数幅频特性：}L(w)=20\lg |G(jw)|=20\lg A(w)$$
    线性分度，单位是分贝(dB)

  • 对数相频曲线的纵坐标按 $\phi (w)$ 线性分度，单位为度 (${}^{\circ }$)。由此构成的坐标系称为半对数坐标系

• 对数幅相曲线

  • 又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图（Nichols Plot）

  • 其特点是纵坐标为 $L(w)$ ，单位为分贝 (dB)；横坐标为 $\phi (w)$ ，单位为度 (${}^{\circ }$) ，均为线性分度，频率$w$ 为参变量

  • 在尼科尔斯曲线对应的坐标系中，可以根据系统开环和闭环的关系，绘制关于闭环幅频特性的等 M 簇线和闭环相频特性的等 $\alpha$ 簇线，因而根据频域指标要求确定校正网络，简化系统的设计过程

典型环节与开环系统的频率特性

由于开环传递函数的分子和分母多项式的系数皆为实数，因此系统开环零极点或为实数或为共轭复数

根据开环零极点可将分子和分母多项式分解成因式，再将因式分类，即得典型环节

典型环节可分为两类：一类为最小相位环节；另一类为非最小相位环节

最小相位环节有下列七种：

• 比例环节 K (K >0)

  • Nyquist 曲线：$w\text{由}0\to \infty \text{，始终为一点 k}$

  

  • Bode 图

  

  • 对数幅频特性曲线

    平行于频率轴的一条直线，值为$20\lg k$

  • 对数相频特性曲线

    为零度直线

• 惯性环节 1/(Ts+1) (T >0)

  • Nyquist 曲线

  

  • Bode 图

    
    

• 一阶微分环节 Ts+1 (T >0)

• 振荡环节 $1/(s^2/{w_n}^2+2\zeta s/w_n+1)$ $(w_n>0,0\le \zeta <1)$

  • 谐振频率：$w_r=w_n\sqrt{1-2{\zeta }^2},0<\zeta \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

  • 谐振峰值：$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}},0<\zeta \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

  • 由于$L_a(w)$与阻尼比 $\zeta$ 无关，用渐近线近似表示对数幅频曲线存在误差，误差的大小不仅和 $w$ 有关，而且也和 $\zeta$ 有关，误差曲线为一曲线簇，根据误差曲线可以修正渐近特性曲线而获得准确曲线。
    根据对数幅频特性定义还可知：
    （1）非最小相位振荡环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线相同
    （2）二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线关于0dB线对称

  • Nyquist 曲线

  

  • Bode 图

  

• 二阶微分环节 $s^2/{w_n}^2+2\zeta s/w_n+1$ $(w_n>0,0\le \zeta <1)$

• 积分环节 1/s

• 微分环节 s

• 延迟环节与延迟系统

  • 时域表达式 $c(t)=1(1-\tau )r(t-\tau )$
  • 传递函数 $G(s)=e^{-\tau s}$
  • 频率特性 $G(jw)=e^{-j\tau w}$

非最小相位环节共有五种：

• 比例环节 K (K<0)
• 惯性环节 1/(-Ts+1) (T >0)
• 一阶微分环节 -Ts+1 (T >0)
• 振荡环节 $1/(s^2/{w_n}^2-2\zeta s/w_n+1)$ $(w_n>0,0<\zeta <1)$
• 二阶微分环节 $s^2/{w_n}^2-2\zeta s/w_n+1$ $(w_n>0,0<\zeta <1)$

除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置

开环频率特性曲线的绘制方法

已知系统开环传递函数$G_k(s)$，绘制开环辐相曲线

• 由已知的$G_k(s)$求$G_k(jw)=G_k(s){|}_{s=jw},A(s),\varphi (w),P(w),Q(w)$
• 分别对：$w:0^{+}\to +\infty ,-\infty \to 0^{-},0^{-}\to 0^{+}$
  • 求N氏曲线的起点
  • 求N氏曲线的终点
  • 求一些特色点
• $w:0^{+}\to +\infty ,-\infty \to 0^{-}$曲线关于实轴镜像对称

频率域稳定判据

$$F(s)=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}=\frac{{\sum }_{j=1}^m(s-z_j)}{{\sum }_{i=1}^n(s-p_i)}$$

如果 F(s) 是非奇异的（除有限个孤立奇点 $p_1$ 、 $p_2$ … $p_n$ 外处处解析)，则有：

• 对于s 平面上任意一点 s，通过复变函数 F(s) 的映射关系，在 F(s)平面上都可以确定一个关于 s 的象或映射 $S_F$
• 对于 s 平面上任意一条不通过 F(s) 的任一零点和极点的封闭曲线 $\Gamma$ ，都可以在F(s)平面上确定一条相应的封闭曲线 ${\Gamma }_F$（ $\Gamma$ 的象或映射）

辐角原理

设s平面上不通过 F(s) 的任一零点和极点的封闭曲线 $\Gamma$ 包围 F(s) 的P个极点和Z个零点，则 s 从封闭曲线 $\Gamma$上任一点 A 起，顺时针沿 $\Gamma$ 移动一周，再回到 A 点时，

则相应地， 在F(s) 平面上，封闭曲线 $\Gamma$ 的象或映射亦从点 F(A) 起，逆时针方向绕原点 $R=P-Z$ 圈，回到 F(A) 点止，形成一条闭合曲线 ${\Gamma }_F$

• R <0 和 R > 0 分别表示 ${\Gamma }_F$ 顺时针包围和逆时针包围F(s) 平面的原点
• R = 0表示不包围 F(s) 平面的原点

封闭曲线 $\Gamma$ 及其象或映射 ${\Gamma }_F$ 的形状对于R值的确定没有影响，也即，R值只与封闭曲线$\Gamma$ 包围F(s)零点、极点的个数有关，而与封闭曲线 $\Gamma$ 的形状无关

F(s)具有以下特点：

• F(s)的零点为闭环特征方程的根，即闭环传递函数的极点
• F(s)的极点为开环传递函数的极点
• F(s) 的零点数与极点数相同（均为n）(考虑开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次)
• s沿封闭曲线 $\Gamma$ 在s平面运动一周所产生的象或映射:封闭曲线 ${\Gamma }_F$ (闭环)和 ${\Gamma }_{GH}$ (开环)，在位置上只相差常数 1，即闭合曲线 ${\Gamma }_F$ 可由 ${\Gamma }_{GH}$ 沿实轴正方向平移一个单位长度获得

系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点即F(s)的零点的位置

考虑选取 s 平面上可以围 住其整个右半平面的封闭曲线 $\Gamma$ (称为N氏围线)，若N氏围线 $\Gamma$ 没有围住F(s)的零点，则闭环系统稳定；若围住了1个零点，系统就不稳定

设Z为F(s)零点在右半s平面中的个数，则Z =0 表示F(s)在右半s平面无零点，闭环特征方程F(s)=0的根全部位于s平面的左半平面，系统稳定；Z≠0，系统不稳定

设P为F(s)极点在右半s平面中的个数， 即为系统开环极点在右半s平面的个数；若已知$G_k(s)$,则P已知

原始的Nyquist稳定判据步骤：

1. 已知：$G_k(s)$
   则P已知（P为 $G_k(s)$ 在右半s平面上开环极点的个数）

2. 在F(s) 平面上画出 $F(s)=1+G_k(s)$ 曲线
   则可知R（当s在s 平面N氏围线 $\Gamma$ 上顺时针方向移动一周时，F(s)平面上$F(s)=1+G_k(s)$ 曲线逆时针绕原点的圈数）

3. 在自变量s平面（N氏围线 $\Gamma$） →因变量F(s) 平面（象或映射 ${\Gamma }_F$ ）上直接应用幅角原理，由R=P-Z，可得：Z=P-R

   若 Z =0 ，则系统稳定
   若 Z≠0，则系统不稳定

F(s)平面上的原点，就是G(s)H(s)平面上的（-1，j0）点

封闭曲线 ${\Gamma }_F$ 包围 F(s) 平面原点的圈数，就等于封闭曲线 ${\Gamma }_{G(s)H(s)}$ 包围 F(s) 平面点 (-1, j0) 的圈数

0型系统：当自变量s从s平面的原点出发，顺时针沿N氏围线 $\Gamma$ 移动一周时，G(s) H(s)平面上曲线 ${\Gamma }_{G(s)H(s)}$ 映射到G(jω)H(jω)平面上的曲线 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ ，即为当
ω：-∞→+∞的Nyquist曲线（全闭合曲线）

I型或I型以上系统：当自变量s从s平面的原点出发，顺时针沿N氏围线 $\Gamma$ 移动一周时，G(s)H(s) 平面上曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 映射到 G(jω)H(jω) 平面上的曲线 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ ，即为当 w: 0+ →+∞、 -∞→ 0-、0- → 0+的Nyquist曲线（全闭合曲线）

具有等幅振荡环节的系统：当自变量 s 从 s 平面的原点出发，顺时针沿N氏围线 $\Gamma$ 移动一周时，G(s)H(s) 平面上曲线 ${\Gamma }_{G(s)H(s)}$ 映射到G(jω)H(jω)平面上的曲线 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$，即为当 w: 0 →$w_{n-}$ 、$w_{n-}$→$w_{n+}$ 、$w_{n+}$→+∞、 -∞→ $w_{n+}$、
$-w_{n+}$→$-w_{n-}$、$-w_{n-}$ → 0 的 Nyquist 曲线（全闭合曲线）

幅角原理（推广）

设 s 平面上不通过 F(s) 的任一零点和极点的N氏围线 $\Gamma$ (围住整个右半s平面)包围 F(s) 平面的 P 个极点和 Z 个零点，则自变量 s 从原点顺时针沿 $\Gamma$ 移动一周时， 在 G(jω)H(jω) 平面上， N 氏围线 $\Gamma$ 的象或映射 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ 曲线(全闭合 Nyquist 曲线w: 0+ →+∞、 -∞→ 0-、0- → 0+) ，将以逆时针方向绕 (-1,j0) 点 R=P-Z 圈

实用的Nyquist稳定判据（全闭合Nyquist曲线）步骤：

1. 已知： $G_k(s)$
   则v、P已知（P为 $G_k(s)$ 在右半s平面上开环极点的个数）

2. 画出w: 0 →+∞、 -∞→ 0 开环（全闭合）Nyquist曲线

   • **0型系统：**画w: 0 →+∞、 -∞→ 0 Nyquist曲线
   • I型及以上系统： 画w: $0^{+}$→+∞的Nyquist曲线
     补画w: -∞→ $0^{-}$、0- → 0+的Nyquist曲线
   • 具有$s=\pm j{w}_n$系统: 画0 →$w_{n-}$ 、$w_{n-}$ →$w_{n+}$ 、$w_{n+}$ →+∞、 -∞→ -$w_{n+}$、 -$w_{n+}$ →-$w_{n-}$、 $-w_{n-}$→ 0 的Nyquist曲线

   则可根据画好的全闭合Nyquist曲线，从图上获知Nyquist曲线逆时针绕（-1,j0）点的圈数，即可得R（当s在s 平面N氏围线 $\Gamma$ 上顺时针方向移动一周时）

3. 在s平面上N氏围线$\Gamma$ →G(jω)H(jω)平面上的 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ 曲线(全闭合Nyquist曲线)，应用幅角原理，由R=P-Z（+逆,-顺）可得：Z=P-R

若Z =0 ，则系统稳定
若Z≠0，则系统不稳定

半闭合Nyquist曲线

设s平面上不通过F(s) 的任一零点和极点的N氏围线 $\Gamma$ (围住整个右半s平面)包围F(s)平面的P个极点和Z个零点，则自变量s 从原点顺时针沿 $\Gamma$ 移动一周时， 在G(jω)H(jω)平面上，N氏围线 $\Gamma$ 的象或映射 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ 曲线(半闭合Nyquist曲线 w: 0→$+\infty$)，将以逆时针方向绕(-1,j0) 点 R=P-Z 圈（ $R=2(N^{+}-N^{-})=2N$）

扩展的Nyquist稳定判据（半闭合Nyquist曲线）步骤：（常用）

1. 已知：$G_k(s)$；
   则v、P已知（P为$G_k(s)$ 在右半s平面上开环极点的个数）

2. 画出w: 0 →$+\infty$开环（半闭合）Nyquist曲线；

   • **0型系统：**画w: 0 →$+\infty$ Nyquist曲线;

   • I型及以上系统：

     • 画w: $0^{+}\to +\infty$Nyquist曲线
     • 从G(j0+)H(j0+)点补画（逆时针方向补）半径为$\infty$角度变化 $\frac{v\pi }{2}$ 的虚圆弧；(全闭合曲线为半径为∞,角度从0- vπ/2 → 0+ -vπ/2的圆弧)

   • 具有$s=\pm j{w}_n$系统:

     • 画$0\to w_{n-}、w_{n+}\to +\infty$Nyquist曲线
     • 从$G(j{w}_{n-})H(j{w}_{n-})$ 点起补画（顺时针方向补）半径为 $\infty$ 角度变化 $v\times \pi$的虚圆弧至 $G(j{w}_{n+})H(j{w}_{n+})$

   则可根据画好的半闭合Nyquist曲线获知，位于（-1,j0）点左侧，从上向下穿越（II → III）次数和N+（逆），以及从下向上穿越（III → II）次数和N-（顺），即可得 $R=2(N^{+}-N^{-})=2N$（当s在s 平面N氏围线$\Gamma$上顺时针方向移动一周时）

3. 在s平面上N氏围线 $\Gamma$ →G(jω)H(jω)平面上的 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ 曲线(半闭合Nyquist曲线)，应用幅角原理，由R=P-Z，可得: Z=P-R

   若Z =0 ，则系统稳定
   若Z≠0，则系统不稳定

对数频率稳定判据(Bode图上的Nyquist稳定判据)

奈氏判据基于复平面的半闭合曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 判定系统的闭环稳定性，由于半闭合曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 可以转换为半对数坐标下的曲线，因此可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线确定穿越次数 N 或 N+和N-

复平面 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线一般由两部分组成：开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。而N 的确定取决于 A(w)>1 时 ${\Gamma }_{GH}$ 穿越负实轴的次数，因此应建立和明确以下对应关系：

穿越点确定
$$\{\begin{array}{c}A(w_c)=|G(j{w}_c)H(j{w}_c)|=1\\ L(w_c)=20\lg A(w_C)=0\end{array}$$

$w_c$ 为截止频率

对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率$w_x$ 时：
$$\phi (w_x)=(2k+1)\pi ,k=0,\pm 1,\dots$$
设半对数坐标下 ${\Gamma }_{GH}$ 的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为 ${\Gamma }_L$ 和 ${\Gamma }_{\phi }$ 。由于 ${\Gamma }_L$ 等于L(w)曲线，则 ${\Gamma }_{GH}$ 在A(w)>1时，穿越负实轴的点等于 ${\Gamma }_{GH}$ 在半对数坐标下，对数幅频特性L(w)>0时对数相频特性曲线 ${\Gamma }_{\phi }$ 与$(2k+1)\pi ;k=0,\pm 1,\dots$, 平行线的交点

${\Gamma }_{\phi }$ 确定

• 开环系统无虚轴上极点时，${\Gamma }_{\phi }$ 等于 $\phi (w)$ 曲线

• 开环系统存在积分环节 $\frac{1}{s^v},(v>0)$ 时，复数平面的 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线，需从w=0+的开环幅相曲线的对应点G( j0+) H( j0+) 起，逆时针补作 $v\times 90^{\circ }$ 半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线 w 较小且 L(w)>0 的点处向上补作 $v\times 90^{\circ }$ 的虚直线， $\phi (w)$ 曲线和补作的虚直线构成 ${\Gamma }_{\phi }$

• 开环系统存在等幅振荡环节：$\frac{1}{{(s^2+w_n^2)}^{v_1}},v_1>0$
  时，复数平面的 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线，需从$w=w_{n-}$的开环幅相曲线的对应点 $G(j{w}_{n-})H(j{w}_{n-})$ 起，逆时针补作 $v_1\times 180^{\circ }$ 半径为无穷大的虚圆弧至$w=w_{n+}$的对应点 $G(j{w}_{n+})H(j{w}_{n+})$ 处。对应地，需从对数相频特性曲线 $\phi (w_{n-})$点起向上补作 $v_1\times 180^{\circ }$ 的虚直线至 $\phi (w_{n+})$ 处，$\phi (w)$曲线和补作的虚直线构成 ${\Gamma }_{\phi }$

穿越次数计算

• 正穿越一次： ${\Gamma }_{GH}$ 由上向下穿越 (-1, j0) 点左侧的负实轴一次，等价于：在L(w)>0时， ${\Gamma }_{\phi }$ 由下向上穿越 $(2k+1)\pi$ 线一次。

• 负穿越一次： ${\Gamma }_{GH}$ 由下向上穿越 (-1, j0) 点左侧的负实轴一次，等价于：在L(w)>0时， ${\Gamma }_{\phi }$ 由上向下穿越 $(2k+1)\pi$ 线一次

• 正穿越半次： ${\Gamma }_{GH}$ 由上向下止于或由上向下起于 (-1, j0) 点左侧的负实轴，等价于：在L(w)>0时， ${\Gamma }_{\phi }$ 由下向上止于或由下向上起于 $(2k+1)\pi$ 线一次

• 负穿越半次： ${\Gamma }_{GH}$ 由下向上止于或由下向上起于(-1, j0)点左侧的负实轴，等价于：在 L(w)>0 时， ${\Gamma }_{\phi }$ 由上向下止于或由上向下起于 $(2k+1)\pi$ 线一次

应该指出的是，补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越

Bode图（半对数坐标${\Gamma }_{GH}$曲线）上的Nyquist稳定判据步骤：

1. 已知：$G_k(s)$
   则v、P已知（P为 $G_k(s)$ 在右半s平面上开环极点的个数）

2. 画出$w:0\to +\infty$开环半对数坐标 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线（Bode图）

   • **0型系统：**画 $w:0^{+}\to +\infty$ 对数相频特性曲线 $\phi (w)$
   • I型及以上系统:
     • 画 $w:0^{+}\to +\infty$ 对数相频特性曲线 $\phi (w)$
     • 从对数相频特性曲线 w 较小且 L(w)>0 的点处向上补作 $v\times 90^{\circ }$的虚直线， $\phi (w)$曲线和补作的虚直线构成 $\Gamma \phi$
   • 具有$s=\pm j{w}_n$系统:
     • 画 $w:0+\to +\infty$对数相频特性曲线 $\phi (w)$
     • 从对数相频特性曲线 $\phi (w_{n-})$ 点起向上补作 $v\times 180^{\circ }$ 的虚直线至 $\phi (w_{n+})$处， $\phi (w)$曲线和补作的虚直线构成 $\Gamma \phi$

   从画好的对数幅频特性L(w)>0时,对数相频特性曲线$\Gamma \phi$与$(2k+1)\pi ;k=0,\pm 1,\dots$, 平行线的交点,可得R=2(N±N-)=2N

3. 在s平面上N氏围线 $\Gamma$ →G(jω)H(jω)平面上的 ${\Gamma }_{G(jw)H(jw)}$ 曲线(半闭合Nyquist曲线)，应用幅角原理，由R=P-Z，可得: Z=P-R
   若Z =0 ，则系统稳定；若Z≠0，则系统不稳定

稳定裕度

当开环传递函数的某些系数发生变化时， ${\Gamma }_{GH}$ 包围 (-1, j0) 点的情况亦随之改变

在稳定性研究中，称 (-1, j0)点为临界点，而闭合曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性

频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度 $\gamma$ 和幅值裕度 $h$ 来度量

相角裕度

设 $w_c$ 为系统的截止频率（固定模为1,比较相角离 (-1, j0)点的远近）：
$$A(w_c)=|G(j{w}_c)H(j{w}_c)|=1$$
定义相角裕度为：
$$\gamma =180^{\circ }+\angle G(j{w}_c)H(j{w}_c)$$
相角裕度 $\gamma$ 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 $\gamma$ 度，则系统将处于临界稳定状态

幅值裕度

设 $w_x$ 为系统的穿越频率（固定相角为-π,比较模离 (-1, j0)点的远近） ：
$$\phi (w_x)=\angle G(j{w}_x)H(j{w}_x)=(2k+1)\pi ;k=0,\pm 1,\dots$$
定义幅值裕度为：
$$h=\frac{1}{|G(j{w}_x)H(j{w}_x)|}$$
幅值裕度 $h$ 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h 倍，则系统将处于临界稳定状态

对数坐标下，幅值裕度按下式定义：
$$h=-20\lg |G(j{w}_x)H(j{w}_x)|(dB)$$
仅用相角裕度或幅值裕度，都不足以反映系统的稳定程度。 对非最小相位系统并不都适用

用频域法分析系统性能

开环频域性能指标

稳：相角裕度、幅值裕度
快：幅值穿越频率（截止频率、剪切频率）、相角穿越频率
准：稳态误差

在开环频率特性曲线上Nyquist曲线、Bode图

闭环频域性能指标

稳：谐振峰值
快：带宽频率、谐振频率
准：零频幅值

在闭环频率特性曲线上Nyquist曲线、Bode图、闭环幅频曲线、等M/N圆、尼科尔斯图

• 零频幅值 $M_0$
  $$\begin{gathered} w=0 \\ M(0)=M_0=\frac{C(0)}{R(0)} \\ M(0)=\{\begin{array}{l}\frac{k}{1+k},v=0\\ 1,v>1\end{array} \end{gathered}$$
  $M(0)=1$ 表示系统阶跃响应的终值等于输入，静差为零

  $M(0)\ne 1$表示系统有静差

  $M_0$ 与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，$M_0$ 越接近1，系统精度越高

• 谐振频率 $w_r$

  闭环幅频特性出现峰值时的频率称为谐振频率 $w_r$，它在一定程度上反映了系统的快速性

  $w_r$ 越大，系统瞬态响应越快

• 谐振峰值 $M_r$

  闭环幅频特性最大值 $M_r＝M(w_r)$ 称为谐振峰值 $M_r$

  峰值大，表明系统对某个频率的正弦输入信号反映强烈，有共振的倾向，即意味着系统的平稳性较差，阶跃响应将有过大的超调量

  一般要求： $M_r<1.5M_0$

• 带宽频率 $w_b$ 与系统带宽 0 ~ $w_b$

  $w_b$ ：幅频特性 $M(w)$ 的数值从 $M(0)$ 衰减到0.707 $M(0)$ 时所对应的频率

  $w_b$ 高： $M(w)$ 从 $M(0)$ 到 0.707 $M(0)$ 所占据的频率区间0~ $w_b$ 较宽，表
  明系统复现快速变化的信号能力强，失真小，也即快速性好，阶跃响应的调节时间短

  $w_b$ 低： $M(w)$ 从 $M(0)$ 到 0.707 $M(0)$ 所占据的频率区间0~ $w_b$ 较窄，带 宽窄,系统反映迟钝,失真大,快速性差（复现快速信号能力差）

系统带宽与信号频谱的关系

$(0,w_b)$ 称为系统的带宽

带宽定义表明，对于高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈现较大的衰减

当控制输入为矩形波时，系统的跟踪能力取决于带宽覆盖矩形波频谱的范围，带宽大则处于较高频率范围的谱线衰减小，故失真小

当控制输入信号频谱特性具有收敛形式时，可按跟踪要求选定常数 $\epsilon$ ，若 $w>w_b$ 时，$|F(jw)|<\epsilon$，从而确定系统所需要的带宽 $w_b$

系统分析应区分输入信号的性质、位置，根据其频谱或谱密度、相应的传递函数及噪声频段选择带宽

将控制系统中的各个变量看成一些信号而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的，各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的综合

频域分析法进行系统分析的基本思路

1. 建模

   建立系统(1阶、2阶、任意阶次)数学模型:微分方程/传递函数/频率特性

2. 画系统频率特性曲线

   • 系统开环频率特性曲线(Nyquist曲线/波德图)

   • 系统闭环频率特性(Nyquist曲线/波德图/幅频曲线)

3. 系统分析（在开/闭环频率特性曲线上）

   • 稳定性分析

   • 性能分析（求系统的性能指标）

   • 动态响应性能分析(稳、快)

   • 稳态响应性能分析

线性系统的校正方法

所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标

在控制系统设计中，采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定：

• 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出，一般采用根轨迹法校正
• 如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，一般采用频率法校正

目前，工程技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换

	时域性能指标	频域开环性能指标	频域闭环性能指标
稳	$\sigma \%$	$\gamma$	$M_r$
快	$t_s,t_p,t_r,t_d$	$w_c$	$w_r,w_b$
准	$K,v(e_{ss})$	$K,v$	$M(0),v$

无论采用哪种校正方式，都要求校正后的系统既能以所需精度跟踪输入信号，又能抑制噪声扰动信号

在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号则一般是高频信号

为了使系统具有较高的稳定裕度，希望系统开环对数幅频特性在截止频率 $w_c$ 处的斜率为 -20dB/dec，但从要求系统具有较强的从噪声中辩识信号的能力来考虑, 却又希望 $w_c$ 处的斜率小于 40dB/dec

通常, 一个设计良好的实际运行系统, 其相角裕度具有45º左右的数值：

• 过低于此值，系统的动态性能较差，且对参数变化的适应能力较弱
• 过高于此值，意味着对整个系统及其组成部件要求较高。因此造成实现上的困难，或因此不满足经济性要求，同时由于稳定程度过好，造成系统动态过程缓慢

要实现 45º 左右的相角裕度要求，开环对数幅频特性在中频区的斜率应为-20dB/dec，同时要求中频区占据一定的频率范围，以保证在系统参数变化时，相角裕度变化不大

过此中频区后，要求系统幅频特性迅速衰减，以削弱噪声对系统的影响。这是选择系统带宽应该考虑的一个方面。另一方面，进入系统输入端的信号，既有输入信号r(t)，又有噪声信号 n(t)，如果输入信号的带宽为 $0\sim w_M$，噪声信号集中起作用的频带为 $w_1\sim w_n$，则控制系统的带宽频率通常取为：
$$w_b=(5\sim 10)w_M$$
且使 $w_1\sim w_n$ 处于 $0\sim w_b$ 范围之外

根据稳、快、准的要求，选择时注意：

• 各元部件的非线性因素，如不是敏区、磨擦、间隙、滞环和漂移等应尽量小
• 避免小阻尼的环节和非最小相位环节
• 受控对象和各元部件之间的时间常数应适当拉开
• 各级增益的配置要有利于提高系统的线性度和抗扰能力

按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为四种：

• 串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串接于系统前向通道之中

• 反馈校正装置一般接在系统局部反馈通路之中

• 前馈校正又称顺馈校正，是在系统主反馈回路之外采用的校正方式

  前馈校正装置接在系统给定值（或指令、参考输入信号）之后及主反馈作用点之前的前向通道上。这种校正方式的作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后，再送入反馈系统

  另一种前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，并经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道

  前馈校正可以单独作用于开环控制系统，也可以作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统

• 复合校正方式是在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体；
  复合校正装置与前馈校正一致，有 2 种接入方式：

  • 按扰动补偿的复合控制形式
  • 按输入补偿的复合控制形式

在控制系统设计中，常用的校正方式为串联校正和反馈校正两种

一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要形式的变换

• 在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，适于采用串联校正
• 在交流载波控制系统中，如果采用串联校正，一般应接在解调器和滤波器之后，否则由于参数变化和载频漂移，校正装置的工作稳定性很差

串联校正装置又分无源和有源两类

• 无源串联校正装置通常由 Rc 无源网络构成，结构简单，成本低廉，但会使信号在变换过程中产生幅值衰减，且其输入阻抗较低，输出阻抗又较高，因此常需要附加放大器，以补偿其幅值衰减，并进行阻抗匹配。为了避免功率损耗，无源串联校正装置通常安置在前向通路中能量较低的部位上
• 有源串联校正装置由运算放大器和 Rc 网络组成，其参数可以根据需要调整，因此在工业自动化设备中，经常采用由电动(或气动)单元构成的 PID 控制器(或称 PID 调节器)，它由比例单元、微分单元和积分单元组合而成，可以实现各种要求的控制规律

在实际控制系统中，还广泛采用反馈校正装置。一般来说，反馈校正所需元件数目比串联校正多。由于反馈信号通常由系统输出端或放大器输出级供给，信号是从高功率点传向低功率点，因此反馈校正一般无需附加放大器

此外，反馈校正尚可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响。在性能指标要求较高的控制系统设计中，常常兼用串联校正与反馈校正两种方式

PID 控制器(或称 PID 调节器)

确定校正装置的具体形式时，应先了解校正装置所需提供的控制规律，以便选择相应的元件

包含校正装置在内的控制器，常常采用比例P、微分D、积分I等基本控制规律，或者采用这些基本控制规律的某些组合，如比例微分PD、比例积分PI、比例-积分-微分PID等组合控制规律，以实现对被控对象的有效控制

比例 P 控制规律

• 具有比例控制规律的控制器称为P 控制器, 其中 $K_p$ 称为 P 控制器增益
• P 控制器实质上是一个具有可调增益的放大器
• 在信号变换过程中，P 控制器只改变信号的增益而不影响其相位
• 在串联校正中，加大控制器增益 $K_p$ ，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定
• 因此，在系统校正设计中，很少单独使用比例控制规律

串联滞后-超前网络校正装置的特性（作用）

• 使滞后部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能
• 使超前部分发生在系统频率特性的中频段, 以改善系统的动态性能

线性离散系统的分析与校正

z 变换法是离散系统理论的数学基础。利用 z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于线性离散系统

线性离散系统分析方法的基本思路

• 建模

  建立线性离散系统数学模型:（前向或后向）差分方程、闭环脉冲传递函数

• 求时域响应

  已知条件：

  • 系统数学模型：脉冲传递函数（或：差分方程→脉冲传递函数）

  • 输入(典型输入):单位阶跃信号(单位脉冲,单位斜坡,单位加速度）

    求: $c^{\ast }(t)/c(nT)/c(k)$

• 系统分析

  • 稳定性分析

  • 性能分析（求系统的性能指标）

    • 动态响应性能分析 (稳、快) - 定性分析/近似计算
    • 稳态响应性能分析 (准)

离散系统的基本概念

• 如果控制系统中的所有信号，都是时间变量的连续函数，则这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统
• 如果控制系统中有一处或几处信号，是一串脉冲或数码，换句话说，这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统

采样控制系统

通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统

一般说来，采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值。如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这种采样称为周期采样

反之，如果信息之间的间隔是时变的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样

• 通常，测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件，其输入和输出是连续信号，即时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号
• 而控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号

为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用采样器，而在脉冲序列和连续信号之间用保持器，以实现两种信号的转换

采样器和保持器，是采样控制系统中的两个特殊环节

信号采样和复现

在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器或称采样开关。

用 T 表示采样周期，单位为s；$f_s=1/T$ 表示采样频率，单位为1/s；$w_s=2\pi f_s=2\pi /T$ 表示采样角频率，单位为rad/s

在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间 $\tau$ 远小于采样周期 T， 也远小于系统连续部分的最大时间常数。为了简化系统的分析，可认为 $\tau$ 趋于零，即把采样器的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲 $e^{\ast }(t)$

在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。

数字控制系统

把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统

数字控制系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分

计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都离散的信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，所以在计算机控制系统中，需要应用A/D (模/数) 和 D/A (数/模) 转换器，以实现两种信号的转换

数字计算机在对系统进行实时控制时，每隔 T 秒进行一次控制修正，T 为采样周期

在每个采样周期中，控制器要完成对于连续信号的采样编码 (即A/D 过程) 和按控制律进行的数码运算，然后将计算结果由输出寄存器经解码网络将数码转换成连续信号(即D/A过程)

因此，A/D 转换器和 D/A 转换器是计算机控制系统中的两个特殊环节

Z 变换

z 变换性质

• 线性定理
  $$\begin{gathered} \mathcal{Z}[e_1(t)\pm e_2(t)]=E_1(z)\pm E_2(z) \\ \mathcal{Z}[ae(t)]=aE(z) \end{gathered}$$

• 实数位移定理

  实数位移定理又称平移定理。实数位移的含意，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后
  $$\begin{gathered} \mathcal{Z}[e(t-kT)]=z^{-k}E(z) \\ \mathcal{Z}[e(t+kT)]=z^k[E(z)-\sum _{n=0}^{k-1}e(nT)z^{-n}] \end{gathered}$$

• 复数位移定理
  $$e^{\mp at}e(t)=E(z{e}^{\mp aT})$$

• 终值定理

  如果函数e(t)的 z 变换为 E(z)，函数序列 e(nT) 为有限值 (n=0，1，2，…)，且极限存在，则函数序列的终值：
  $$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)E(z) \\ \text{也可表示为 }e(\infty )=\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z) \end{gathered}$$

• 卷积定理
  $$\begin{gathered} g(nT)=x(nT)\ast y(nT) \\ G(z)=X(z).Y(z) \end{gathered}$$

z 反变换

离散系统的稳定性与稳态误差

$$K_p=\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]$$

称为静态位置误差系数

• 若 G(z) 没有 z=l 的极点，则 $K_p\ne \infty$，从而 $e(\infty )\ne 0$，这样的系统称为0型离散系统
• 若G(z)有一个或一个以上z=1的极点，则 $K_p=\infty$，从而 $e(\infty )=0$，这样的系统相应称为 I 型或 I 到以上的离散系统

$$K_v=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)$$
称为静态速度误差系数。0 型系统的 $K_v=0$ ，I 型系统的 $K_v$ 为有限值，Ⅱ型和 II 型以上系统的 $K_v=\infty$

$$K_a=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)$$
称为静态加速度误差系数。0 型及 I 型系统的 $K_a=0$ ，Ⅱ型系统的 $K_a$ 为常值，III 型及 III 型以上系统的 $K_a=\infty$