按时间抽取的FFT算法及蝶形运算

FFT算法的引入

通过计算、推导我们知道，N点序列x[n]的DTFT，可以表示成N/2点序列g[n] = x[2n]和h[n] = x[2n+1]的DTFT形式。由于DFT可以看作对DTFT的采样，故X[k]同样可以表示成g[n]和h[n]的DFT形式。

FFT算法推导

1. 数学推导：
   （1）参考上述引入可以知道，X[k]可以由N/2点序列的DFT表示，其中W^k_N是由序列的以为造成的。
   
   （2）其中G[k]，H[k]的表达式如下：
   
   （3）由于G[k]、H[k]是N/2点的DFT，所以其周期为N/2，故可以将(1)式子改写成：
2. 信号流图如下：

• H[k]、G[k]由于其周期性，所以有x[4/5/6/7]均可以由G[0/1/2/3]和H[0/1/2/3]计算得出；W因子是由时序移位所造成的，这样子方便记忆。
  
• G[0/1/2/3]为N/2点的DFT，故可以将其分解为2个N/4点的DFT；H[0/1/2/3]的计算同理。
  说明：G[0/1/2/3]的计算可以通过将x[0]、x[2]、x[4]、x[6]序列拆分成奇偶序列进行N/4点的DFT计算。G[0/1/2/3]需要4个点的组合运算，这四个数值是由2对长度为N/4序列的DFT的结果得到。这样子就便于理解为什么，我们前面还要有一层运算。
  
• 我们将N/4点的DFT补充，有流图如下：
  下图中所有的W都是以N为底数，实际上，我们每一层分别以N、N/2、N/4为底数，只不过我们可以通过约分将底数均表示为N，这样子较为美观。
  

FFT的进一步化简----蝶形运算

1. 利用系数W_N^r 的对称性和周期性可以进一步减小流图的计算量：

• 有如下推导：
  
• 因此有：
  
• 故有如下简化方法：
  

2. 因此有如下的化简方式：