算法快学笔记（十三）：狄克斯特拉（Dijkstra）算法原理与实现

1. 简介

广度优先算法可以找出段数最少的路径，但是对于路径上带权重的图，想要找出最快的路径，则需要使用狄克斯特拉算法。

2. 原理

为了说明狄克斯特拉算法的原理，使用换钢琴的的例子来做说明.
假设Rama想拿自己的乐谱换架钢琴：

1. Alex说：“这是我最喜欢的乐队Destroyer的海报，我愿意拿它换你的乐谱。
2. 如果你再加5美元，还可拿乐谱换我这张稀有的Rick Astley黑胶唱片。”
3. Amy说：“哇，我听说这张黑胶唱片里有首非常好听的歌曲，我愿意拿我的吉他或架子鼓换这张海报或黑胶唱片。
4. Beethoven惊呼：“我一直想要吉他，我愿意拿我的钢琴换Amy的吉他或架子鼓。”

商品兑换的关系如下：

现在需要确定，Rama如何才能以最少的钱换到他想要的钢琴。

狄克斯特拉算法解决问题的思路主要包括以下四步：

1. 找出最便宜的节点，即可用最便宜的价格可前往的节点。
2. 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
3. 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
4. 计算最终路径

下面结合狄克斯特拉的算法步骤，对该问题进行推算。

2.1 找出最便宜的节点

对于乐谱而言，可以直接兑换唱片和海报，所需的费用分别为5和0.
为了观察的算法过程中数据的变化情况，使用一个表格来计算兑换的开销以及父节点的情况，对于目前开销的未知的节点用无穷大来表示，经过该步骤后，数据的情况如下：

父节点	节点	成本
乐谱	唱片	5
乐谱	海报	0
–	吉他	∞
–	架子鼓	∞
–	钢琴	∞

2.2 计算前往该节点的各个邻居的开销

通过步骤1的处理，得知从乐谱->海波的开销是最小的。此时计算从海报到达各邻居节点的开销，如果邻居节点的开销变少了，则更新其开销和父节点。最终的结果如下：

父节点	节点	成本
乐谱	唱片	5
乐谱	海报	0
海报	吉他	30
海报	架子鼓	35
–	钢琴	∞

2.3 重复上面的步骤

接下来还没有被遍历的节点中，最便宜的兑换商品为唱片，此时计算从唱片到达各邻居节点的开销，通过计算，从唱片到达吉他只需20,从唱片到达架子鼓只需25,因此需要更新结果表中吉他和架子鼓的父节点以及成本，最终结果如下：

父节点	节点	成本
乐谱	唱片	5
乐谱	海报	0
唱片	吉他	20
唱片	架子鼓	25
–	钢琴	∞

接下来最便宜的节点是吉他，从吉他这个路径走，到钢琴的价格为40.接z最后是架子鼓，从架子鼓这个路径走，到钢琴的价格为35. 于是最终结果如下：

父节点	节点	成本
乐谱	唱片	5
乐谱	海报	0
唱片	吉他	20
唱片	架子鼓	25
架子鼓	钢琴	35

通过上述表格反推，花费最小的兑换路径为：乐谱–>唱片–>架子鼓–>钢琴，需要花费35.

实现

代码的实现中，需要维护三个散列表：

1. graph:用来描述顶点与边的关系,为了简单演示，可以直接使用字典的形式表示顶点与边。
2. costs:用来记录途径顶点的开销
3. parents:用来记录各顶点的父顶点情况

代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
# @Author：sunaihua
'''
使用Dijkstra算法得到带权图的最短路径
'''

#graph 结构
graph={}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
graph["fin"] = {}

# 成本数据
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity
# parent数据
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None
# 已经处理过的节点
processed = []


def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None
    for node in costs:
        cost = costs[node]
        if cost < lowest_cost and node not in processed:
            lowest_cost = cost
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node


def dijkstra():
    node = find_lowest_cost_node(costs)
    while node is not None:
        cost = costs[node]
        neighbors = graph[node]
        for n in neighbors.keys():
            new_cost = cost + neighbors[n]
            if costs[n] > new_cost:
                costs[n] = new_cost
                parents[n] = node
        processed.append(node)
        node = find_lowest_cost_node(costs)
    # 更具parents中的fin，向前反推，就可以得到最终的路径
    print parents


if __name__ == '__main__':
    dijkstra()

总结

1. 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
2. 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
3. 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
4. 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。