最小二乘的几何解释

最小二乘主要用来做线性回归。

数据集形式为：(X,T),X ,T 分别代表自变量与因变量。用矩阵来表示训练数据时，往往每行代表一个数据。假设w 是回归系数，与x的维数相同。那么最小二乘估计形式为：    ，L是loss function，包含了训练数据的所有误差，把误差分散在每个训练数据上。L(W）展开后的形式为：

。对展开式关于W求导后令倒数为0，得到      这就是回归系数的解析解。

下面我们看下几何解释：

如果我们对矩阵X以列的形式看，那它就形成一个p 维的子空间。由于噪声等影响，Y是一般是不在p维子空间上的。另外 ，考虑N维空间，坐标轴由表示，因此 是这个空间的一个向量。有N个点估计得到的基函数同样可以使用基函数表示出来，记为, 其中j 表示的第j列，同时，代表的第n行。如果基函数的数目M小于样本数目N, 那么M个向量就会张成一个M维的线性空间。我们定义y是一个N维向量，其第n个元素被定义为。因为y 是由线性组成的二值向量，它可以落在任何M维子空间的任何位置。平方和误差等价于（1/2缩放）y与t之间的欧式距离。寻找w的最优解的过程就是在子空间S中寻找一个一个向量y使其最接近 t。也就是说，y是t在子空间S上的正交投影。故有    求出w的形式与上面解析解相同，只不过他将误差分散在跟个样本的每个维度直接。

 

                                                                           图来源于PRML

                                                  

 

一般来说，直接求解可能会比较困难，尤其是当接近奇异的时候。特别地，当出现两个以上的为线性相关，或者是近似线性相关时，所对应的解会有比较大的绝对值。