凸包算法分析

资料来源：

http://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/46239187

http://kevinew.blog.sohu.com/14735858.html

前言：

首先，什么是凸包？ 
假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图： 

然后，什么是凸包问题？ 
我们把这些点放在二维坐标系里面，那么每个点都能用 (x,y) 来表示。 
现给出点的数目13，和各个点的坐标。求构成凸包的点？

解一：穷举法（蛮力法）

时间复杂度：O(n³）。 
思路：两点确定一条直线，如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧，则这两个点是凸包上的点，否则就不是。 
步骤：

1. 将点集里面的所有点两两配对，组成 n(n-1)/2 条直线。
2. 对于每条直线，再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。

如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢？（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

 
当上式结果为正时，p3在直线 p1p2 的左侧；当结果为负时，p3在直线 p1p2 的右边。

解二：分治法

时间复杂度：O(n㏒n)。 
思路：应用分治法思想，把一个大问题分成几个结构相同的子问题，把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法，分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。 
步骤：

1. 把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点（为什么呢？用反证法很容易证明，这里不详讲）。直线 P1Pn 把点集分成了两部分，即 X 轴上面和下面两部分，分别叫做上包和下包。
2. 对上包：求距离直线 P1Pn 最远的点，即下图中的点 Pmax 。
3. 作直线 P1Pmax 、PnPmax，把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包，把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
4. 重复步骤 2、3。
5. 对下包也作类似操作。

然而怎么求距离某直线最远的点呢？我们还是用到解一中的公式： 
 
设有一个点 P3 和直线 P1P2 。（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)） 
对上式的结果取绝对值，绝对值越大，则距离直线越远。

注意：在步骤一，如果横坐标最小的点不止一个，那么这几个点都是凸包上的点，此时上包和下包的划分就有点不同了，需要注意。

解三：Jarvis步进法

时间复杂度：O(nH)。（其中 n 是点的总个数，H 是凸包上的点的个数） 
思路：

• 纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点，例如图上的 P0。
• 从 P0 开始，按逆时针的方向，逐个找凸包上的点，每前进一步找到一个点，所以叫作步进法。
• 怎么找下一个点呢？利用夹角。假设现在已经找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一个点：剩下的点分别和 P2 组成向量，设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了，此处为 P3 。

注意：

1. 找第二个点 P1 时，因为已经找到的只有 P0 一个点，所以向量只能和水平线作夹角 α，当 α 最小时求得第二个点。
2. 共线情况：如果直线 P2P3 上还有一个点 P4，即三个点共线，此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点，并且把距离 P2 最远的那个点（即图中的P4）作为最后搜索到的点，继续找它的下一个连接点。

解四：Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n) 
思路：Graham扫描的思想和Jarris步进法类似，也是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，但它不是利用夹角。 
 
步骤：

1. 把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
2. 把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
3. 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。 
   （以上是准备步骤，以下开始求凸包） 
   以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
4. 连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
5. 如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
6. 当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
7. 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

最后，栈中的元素就是凸包上的点了。 
以下为用Graham扫描法动态求解的过程： 

解五：Melkman算法

3、Melkman算法

首先要说的是：很多人都认为这个是最好的算法。这个算法可以在个点有序的前提下，每次获得一个点就可以将

先前的凸包改造成新的凸包，因此，这个是一个在线算法，它有着其他算法无法比拟的优势。1987年Melkman提出的

的凸包算法，它不再使用堆栈了，转而使用双向表，这为凸包算法的历史掀开了崭新的一夜。

具体实现我就不说了，相信看过上面几句话的，现在都已经忍不住要学习了。

今天看了一下午《算法艺术》和网上的一些资料，终于又有了一些理解，那就补充一下吧。之前都是模模糊糊的，现

在明白了，可能我现在理解的还是错误的，但是我还是要说出来：

 

melkman是用来求简单多边形的凸包算法，可以在线性时间求出最小凸包。而其他几种则可以求点集的凸包的算法。

如果要用Melkman算法来求点集的凸包，那么首先也是要排序的，通过排序可以形成一个简单的多边形，然后才可以

在线性的时间求出最小凸包。

所以最终得到的结论是：求点集的凸包，时间复杂度的底线是O(nlogn)。

最后讨论一下共线的问题：

假设有这么几个点

0 0

0 1

0 2

2 2

1 1

和这几个点

1 1

2 2

3 3

4 4

对于上面的两组数据，如果用卷包裹算法和Graham-Scan的极角排序法做，要求只输出凸包上的定点，会出现什么样

的问题？？

如果用Graham-Scan的水平序来写，会不会出现同样的问题？？

大家可以好好想想！！！！

还有很多凸包方面的算法，比如Jarvis步进法、增量、溶解、QuickHull等，这些多用于数学中，实践意义不大，所以

就不说了。有兴趣了解凸包算法的发展史，可以看看蓝点大神的《漫话二维凸包》。