经典题目——剪绳子

剪绳子

引例：给你一根长度为 n 绳子，请把绳子剪成 m 段（m、n 都是整数，2≤n≤58 并且 m≥2）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]k[1] … k[m] 可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

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本题其实是一个数学问题：对于一个整数N，将其分解为m项3、n项2可得到最大乘积。其中（m + n = N, m >= n)。证明如下：

当n<5时，我们会发现，无论怎么剪切，乘积 <= n，n为4时，product最大为2*2=4；
当n>=5时，可以证明2(n-2)>n并且3(n-3)>n。而且3(n-3)>=2(n-2)。所以我们应该尽可能地多剪长度为3的绳子段。 所以我们可这么做：先判断N是否是4的倍数、2的倍数，最后剩下的就全是3的倍数。

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int n) {
        if(n <= 3) return 1*(n-1);
        int res = 1;
        if(n%3 == 1) res *= 4, n -= 4;
        else if(n%3 == 2) res *= 2, n -= 2;
        while(n) res *= 3, n -= 3;
        return res;
    }
};

本题还可以利用动态规划解决，每一步的结果都依赖于上一步的结果。定义函数f(n)表示为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。对于第一刀，我们有n-1种可能的选择，可推导出f(n)=max{f(i)*f(n-i)};

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int n) {
        if(n <= 3) return 1*(n-1);
        vector<int> vec(n+1);
        vec[0] = 0; vec[1] = 1; vec[2] = 2;vec[3] = 3;
        for(int i = 4; i <= n; i++){//代表和
            int max = 0;
            for(int j = 1; j <= i/2; j++){
                if(vec[j] * vec[i - j] > max){
                    max = vec[j] * vec[i - j];
                }
            }
            vec[i] = max;
        }
        return vec[n];
    }
};