《算法设计与分析》实践报告--求两个有序序列的中位数

实验题目：两个有序序列的中位数

已知有两个等长的非降序序列S1, S2, 设计函数求S1与S2并集的中位数。有序序列A​0​​,A​1​​,⋯,A​N−1​​的中位数指A​(N−1)/2​​的值,即第$\lfloor (N+1)/2\rfloor$个数（A​0​​为第1个数）。

输入格式:

输入分三行。第一行给出序列的公共长度N（0$<$N$\le$100000），随后每行输入一个序列的信息，即N个非降序排列的整数。数字用空格间隔。

输出格式:

在一行中输出两个输入序列的并集序列的中位数。

输入样例1:

5
1 3 5 7 9
2 3 4 5 6

输出样例1:

4

输入样例2:

6
-100 -10 1 1 1 1
-50 0 2 3 4 5

输出样例2:

1

算法描述：

    程序使用递归的思想，每层进行的操作如下：

    ①判断两个序列是否都只剩下一个数据。若是，则直接判断大小，小的值则为两个序列并集的中位数；若否，则进行下一步操作。

    ②判断两个序列是否符合一个序列有两个数据，另一个序列有两个数据的情况。若是，则通过三个数之间的比较，确定两个序列并集的中位数；若否，则进行下一步操作。

    ③分别找出两个有序序列的中位数。若两个序列剩下的数据个数是大于2 的偶数，则设定序列1的中位数为a_mid = (a_l + a_h + 1) / 2，序列2的中位数为b_mid = (b_l + b_h) / 2；若不是，则序列的中位数分别为a_mid = (a_l + a_h) / 2和b_mid = (b_l + b_h) / 2。

    ④判断两中位数的大小。若数列a的中位数比序列b的中位数大，则取序列a的前半段和序列b的后半段进入递归调用；反之，则取序列a的后半段与序列b的前半段进入递归调用。

算法时间及空间复杂度分析

    算法采用分治策略，在每一次递归中，都将原问题分成一个只有原问题数据规模一半的子问题，因此有。在治的过程中，并没有出现与数据规模n相关的操作次数，所以T(治) = O(1)，而且没有实际性的操作与并相关，所以T(并) = 0。故总而言之，本次算法的时间复杂度公式为，即T(n) = O(log₂n)。

    在本次算法中开辟的辅助空间与数据规模n无关，故算法的空间复杂度为S(n) = 0(1)。

#include 
using namespace std;

int Find_Median(int *a, int *b, int a_l, int a_h, int b_l, int b_h)
{
	if (a_l == a_h && b_l == b_h)
	{
		if (a[a_l] < b[b_l])
			return a[a_l];
		else
			return b[b_l];
	}

	if (a_l == a_h && b_h - b_l == 1)
	{
		if (a[a_l] < b[b_l])
			return b[b_l];
		else if (a[a_l] >= b[b_l] && a[a_l] <= b[b_h])
			return a[a_l];
		else
			return b[b_h];
	}

	if (b_l == b_h && a_h - a_l == 1)
	{
		if (b[b_l] < a[a_l])
			return a[a_l];
		else if (b[b_l] >= a[a_l] && b[b_l] <= a[a_h])
			return b[b_l];
		else
			return a[a_h];
	}
	
	int a_mid, b_mid;
	if (a_h - a_l != 1 && (a_h - a_l) % 2 == 1 && b_h - b_l != 1 && (b_h - b_l) % 2 == 1)
	{
		a_mid = (a_l + a_h + 1) / 2;
		b_mid = (b_l + b_h) / 2;
	}
	else
	{
		a_mid = (a_l + a_h) / 2;
		b_mid = (b_l + b_h) / 2;
	}
	if (a[a_mid] < b[b_mid])
		return Find_Median(a, b, a_mid, a_h, b_l, b_mid);
	else
		return Find_Median(a, b, a_l, a_mid, b_mid, b_h);
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	int *a = new int[n];
	int *b = new int[n];

	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> b[i];

	cout << Find_Median(a, b, 0, n - 1, 0, n - 1);

	return 0;
}