N条直线能把平面分成几块

N条直线能把平面分成几块

                         

一、摘要

    在生活中常常用直线来分平面，本研究是要探讨如何用直线划分平面成最多块和最少块，并找出规则和公式。     我们发现分成几块和线数、交点数有关系。N 条线全部平行、没有交点，能分成最少 N+1 块，每增加一个两线交点，就会增加 1 块。每增加一个三线交点，会增加 2 块。每增加一个四线交点，会增加 3 块。以此类推，每增加一个 n 线交点，就会增加 n-1 块。N 条线完全没有平行、只有两线交点的话，就能分成最多（N²+N+2）÷2块。注:N 等于线段的数量。

二、研究动机及目的：

   有一天，我们做一个“猫与老鼠”的题目。感情交恶的猫与老鼠合计16只，想让老鼠不被猫吃掉，要用直线来把牠们一只只分开，最少用5条就可以把它们分开。所以我们就想研究用直线来分平面，最少能分成几块？最多能分成几块？有没有规则或公式？

三、研究设备器材：

       笔和纸。

四、研究过程或方式：

      我们找50个同学，请每位同学分别用三条、四条、五条、六条直线来分平面，再把得到的结果整理分类，然后用表格整理，找出规则和公式。

五、研究结果：

（一）、什么情况下可分成最多块、最少块

	2 条线	3 条线	4 条线	5 条线	6 条线
最少	3	4	5	6	7
最多	4	7	11	16	22

 

    我们发现，不管是 2 条、3 条、4 条、5 条或 6 条直线，全部都平行、都没有交点时是最少块的；如果没有平行线，每一条线都跟其他条直线都有交点的话，会分成最多块。

  (二)、找出交点、线数、块数间的关系。

    我们已经知道，N条直线平行时，得到的块数是最少的。所以，我们慢慢减少平行线，讨论N条直线与两线交点、三线交点、四线交点，试着找出点、线、块之间的关系。

    (1) 两线交点的情况

 

N条线	2	2
两线交点数	0	1
块数	3	4

  

N条线	3	3	3
两线交点数	0	2	3
分割块数	4	6	7

  

N条线	4	4	4
两线交点数	0	3	5
块数	5	8	10

 

N条线	4	4
两线交点数	4	6
块数	9	11

 

N条线	5	5	5
两线交点数	0	4	7
分割块数	6	10	13

 

N条线	5	5	5
两线交点数	7	6	8
块数	13	12	14

 

N条线	5	5	5
两线交点数	8	9	9
块数	14	15	15

 

N条线	5
两线交点数	10
块数	16

 

N条线	6	6	6
两线交点数	0	5	9
分割块数	7	12	16

 

N条线	6	6	6
两线交点数	9	8	9
块数	16	15	16

 

N条线	6	6	6
两线交点数	12	13	14
块数	19	20	21

 

N条线	6
两线交点数	15
块数	22

    我们发现，全部平行线、都没有交点时块数最少，得到的块数＝线段+1。不管怎么分，只要线数和点数相同，得到的块数也会相同。每增加一个两线交点，就会增加 1 块，点、线、块的关系是：（线段+1）+点数＝块数。

      (2) 三线交点的情况

N条线	3	3
两线交点数	0	0
三线交点数	0	1
块数	4	6
N条线	4	4
两线交点数	0	3
三线交点数	0	1
块数	5	10

 

N条线	5	5	5
两线交点数	6	3	3
三线交点数	1	2	2
块数	14	13	13

 

N条线	5	5	5
两线交点数	6	4	4
三线交点数	1	2	2
块数	14	14	14

 

N条线	6	6	6
两线交点数	9	7	5
三线交点数	1	2	3
块数	18	18	18

 

N条线	6	6	6
两线交点数	8	6	6
三线交点数	2	3	3
块数	19	19	19

 

N条线	6
两线交点数	3
三线交点数	4
块数	18

我们发现，每增加一个三线交点，会增加 2 块。如果同时有两线交点和三线交点，点、线、块的关系是：（线段+1）+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）＝块数。

(3)四线交点的情况

N条线	4	5	6
两线交点数	0	4	6
三线交点数	0	0	1
四线交点数	1	1	1
块数	8	13	18

 

N条线	6	7	7
两线交点数	8	9	9
三线交点数	0	1	0
四线交点数	1	1	2
块数	16	22	23

 

    我们发现，每增加一个四线交点，会增加 3 块。如果同时有两线交点、三线交点和四线交点，所得到的块数是（线段+1）+（1×两线交点数）+（2×三线交点数）+（3×四线交点数）。         

 （三）、 如何求出最多块数的公式

   因为每一条线都跟其他条线都有交点的话，分成最多块。所以，要求出最多块数，必须先知道两线交点的点数。

N条线	2	3	4	5	6
交点	1	3	6	10	15
块数	4	7	11	16	22

 

   我们发现有 N 条线的时候，每一条线都可以碰到其他条线，所以每条线都会产生(N-1)个点，总共 N×（N-1）个点，但有一半是重复的，所以要除以 2 扣掉。分成最多块，得到的交点数是：N×(N-1)÷2=(N2-N)/2。每增加一个两线交点，块数=（线段+1）+点数。所以最多块的求法是： N+1+（N²-N）/2=（N²+N+2）/2。

六、讨论与结论：

  （一）、 当N 条线段都平行时，会分成最少块，最少为 N+1 块。

        每一条线都跟其他条线有互相交错的话，会分成最多块。

  （二）、 N 条线分平面所得到的块数，跟线数、点数有关系。如果有一样

        多条的直线，不管怎么分，只要点数相同，得到的块数也会相同。

  （三）、 每增加一个两线交点，就会增加 1 块

        每增加一个三线交点，会增加 2 块。

        每增加一个四线交点，会增加 3 块。

     每增加一个 n 线交点，就会增加(n-1)块。

（四）、 有N 条线分平面，点、线、块的关系：

       (1) 如果平面只有两线交点，   （N+1）+两线交点数＝块数。

       (2) 如果同时有两线交点与三线交点，（N+1）+（1×两线交点数）                                                   +（2×三线交点数）＝块数。

       (3) 如果同时有两线交点与三线交点、四线交点，块数＝（N+1）                                                                     

           +（1×两线交点数）+（2×三线交点数）+（3×四线交点数）。

       (4) 我们推论，当 N 条直线分平面，同时有两线交点与三线交点、四线交点….N 线交点，所得块数＝(N+1) + (1×两线交点数) + (2×三线交点数) + (3×四线交点数) +….(N-1) ×(N 线交点数)。

（五）、 N 条线分成最多块时，全部是两线交点。所以 N 条线分成最多块

     的公式是（N²+N+2）÷2=块数。