二分图匹配复习总结

前言：

以前学的二分图匹配是假的。
这次复习，其实就是把以前背的结论加深菜B的理解。
以下一波蒟蒻口胡。

二分图上的二分图匹配

一、原理：

首先有几个概念，匹配边与匹配点，选择了的边叫匹配边，这些边两边的点是匹配点。
交错路即一条未匹配边，一条匹配边交错走的路径。
而增广路是从一个未匹配点，走交错路到另一个未匹配点。
假如我们将这条路径上的匹配状态取反，那可以愉快的发现，匹配数+1且不影响非这条增广路的点的匹配状态。
匈牙利算法实际上就是找增广路增广的过程。

二、最小点覆盖

定义：一个点能覆盖它连出去的边，用最少的点，覆盖所有的边。
首先说明一个东西，当一个二分图匹配状态不是最大匹配时，一定还有增广路的存在。

可以这么理解，将二分图建成网络流来跑，当没有跑到最大流时，一定还能继续流，因为有反向弧的存在，所以源点到汇点的通路中属于原二分图的部分一定是增广路。
还是在网络流上考虑最小点覆盖问题，当我们选择一个点时，相当于把它到源点/汇点的边割掉，当有边没被覆盖时图是连通的，所以就是最小割=最大流=最大匹配。

三：最大独立集：

定义:在图中选最多的点，是它们间没有边直接或间接相连。
那么对于一条边，只能在它连向的两个点中选一个点。
所以如果选了一个点，那么相当于连向它的边都没用了。
那么应该找最少的点，将它们踢出独立集，使所有的边都被覆盖。
于是又成了最小点覆盖的问题。
综上：最大独立集=总点数-最大匹配。
刚头脑短路不知道在写什么。

四：最大团

就是选出的点要两两连通。
选图的补图的最大独立集，正确性显然。

有向无环图上的二分图匹配

一：最小路径覆盖：

定义：在简单图上选一些路径，不能有交叉，且覆盖了所有的点。
偷懒，在这篇上有写：bzoj 2150

二：最大独立集：

定义:在图中选最多的点，是它们间没有边直接或间接相连。
跟二分图差不多，但是边成了路径……
于是在一条路径上只能选一个点。
好吧，我承认这一段很迷
要先floyd
综上：最大独立集=总点数-最大匹配。
爆炸oj上好像有题挺裸的，题号忘了
update(1143)

一般图的最大独立集

做出来十年图灵