幂运算 --- Leedcode 372 超级立方

题目

你的任务是计算 a^b 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例 1:
输入: a = 2, b = [3]
输出: 8

示例 2:
输入: a = 2, b = [1,0]
输出: 1024

解析

题目中 b 会是一个非常大的整数，这样可能会导致溢出，并且b是一个数组形式，我们需要处理：

• 用数组表示的指数
• 如何避免溢出
• 如何得到求模的结果

1、首先如何用数组表示指数：

 [1,5,6,4]  // 假如 b 是  [1,5,6,4]
 a^b =  a^4 * (a^[1,5,6])^10
     =  a^4 * (a^6 * (a^[1,5])^10)^10
     // ... 一直递归下去

代码：

var superPow = function(a, b) {
        if(b.length === 0) return 1;  
        const num = b.pop();
        const part1 = Math.pow(a,num);
        const part2 = Math.pow(superPow(a,b),10);
        return  (part1 * part2) % base;
};

这样就可以使用递归的方式表示出 a^b，但是还是避免不了会溢出，因为 part1 、part2 、part1 与 part2 的乘积都有可能会溢出。

2、如何避免溢出

由于 Math.pow(a,num) 会出现溢出的情况，所以我们需要手动去计算 a^num 的结果。

模运算的技巧：

• 求模等式 : (a * b) % k = (a % k)(b % k) % k
• 即对乘法的结果求模，等价于先对每个因⼦都求模，然后对因⼦相乘的结果再求模。

这样我们就可以解决溢出的问题：

const base = 1337;
// 手动求 a^k % base: 
var myPow = function(a,k) {
     a = a % base; //将每个因子都求模， 这样 a每次都是小于 base 
    let res = 1;
    for(let i = 0; i < k; i++) {
        res *= a; // 因⼦相乘
        res %= base; // 最后对结果求模
    }
    return res;
}
var superPow = function(a, b) {
        if(b.length === 0) return 1;  
        const num = b.pop();
        const part1 = myPow(a,num);
        const part2 = myPow(superPow(a,b),10);
        return  (part1 % base )* (part2 % base) % base;
};