《计算机图形学》学习笔记（三）画线算法

画线算法：已知点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)，画出点A和点B之间的所有的点。

1、DDA（数值微分）算法

已知直线方程可以表示为 y = kx + b
以下公式仅考虑 |k|<=1（这种情况下，直线在y轴方向增长的速度小等于在x轴方向的速度）
已知：
y₁ = kx₁ + b
y₂ = kx₂ + b
因为
x₂ = x₁ + 1
所以
y₂ = k(x₁ + 1) + b
y₂ - y₁ = k(x₁ + 1) + b - (kx₁ + b) = k
可以推导出，x,每递增1，y递增k

增量算法
在一个迭代算法中，如果每一步中的x和y值均由上次计算得到的值加上一个增量来得到，这种算法为增量算法。
DDA算法是一种增量算法，在 |k|<=1 的情况下，Δx =1，Δy = k。
实现代码如下

void DrawLine_DDA(int x1,int y1,int x2,int y2){
    int dx = x2 - x1;
    int dy = y2 - y1;

    int step = 0;
    if(Math.Abs(dy) > Math.Abs(dx)){
        step = Math.Abs(dy);
    }
    else{
        step = Math.Abs(dx);
    }

    float stepX = 1.0f * dx / step;
    float stepY = 1.0f * dy / step;

    int i = 0;
    float x = x1;
    float y = y1;
    DrawPoint((int)x, (int)y);
    while ((i++)<step){
        x += stepX;
        y += stepY;
        DrawPoint((int)x, (int)(y+0.5f));
    }
}

中点画线算法

原理：假设一条直线，0p，y_p)，那么下一个点一定为P₁(x_p+1，y_p)或P₂(x_p+1，y_p+1)。点P₁和点P₂的中点为M。如果中点M在直线的下方，那么下一个点应选择P₂，否则选P₁。如下图所示

可以设直线方程为 ax + by + c = 0
将点A和点B代入方程式中，可得
$$\frac{a}{b}=\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}$$
那么，可设
a = y₁ - y₂
b = x₂ - x₁
c = x₁y₂ - x₂y₁
则 F(x) = ax + by + c
F(x) > 0时，点在直线上方
F(x) = 0时，点在直线上
F(x) < 0时，点在直线下方
故而需要判断中点M是否在Q点的上方还是下方，只需要将点M代入到F_(x)中，判断计算结果的正负即可。
F(M) = F(X_p+1,Y_p+0.5) = a(X_p+1) + b(Y_p+0.5) + c
如果F(M) > 0，则中点在直线上方，下一点应取P₁，下一中点为(X_p+2,Y_p+0.5)
F(M)的增量d = a(X_p+2) + b(Y_p+0.5) + c - [a(X_p+1) + b(Y_p+0.5) + c] = a
如果F(M) < 0，则中点在直线下方，下一点应取P₂，下一中点为(X_p+2,Y_p+1.5)
F(M)的增量d = a(X_p+2) + b(Y_p+1.5) + c - [a(X_p+1) + b(Y_p+0.5) + c] = a+b
d的初始值d₀ = F(X_p+1,Y_p+0.5) - F(X_p,Y_p) = a(X_p+1) + b(Y_p+0.5) + c - (ax_p+by_p+c) = a+0.5b
实现代码如下

void DrawLine_MidPoint(int x1,int y1,int x2,int y2){
    int dx = x2 - x1;
    int dy = y2 - y1;
    int a = y1 - y2;
    int b = x2 - x1;
    int xStep = (b >= 0 ? 1 :-1);
    int yStep = a <= 0 ? 1 : -1;
    int xStep2 = xStep;
    int yStep2 = yStep;
    int steps = 0;
    //当dy > dx时，需交换a，b
    if (Math.Abs(dy) > Math.Abs(dx)){
        int temp = -a;
        a = -b;
        b = temp;

        a *= xStep;
        b *= yStep;

        xStep2 = 0;
        steps = Math.Abs(dy);
    }
    else{
        a *= yStep;
        b *=  xStep;
        yStep2 = 0;
        steps = Math.Abs(dx);
    }

    int d = 2 * a + b;
    int d1 = 2 * a;
    int d2 = 2 * a + 2 * b;
    int x = x1;
    int y = y1;
    DrawPoint(x, y);
    int i = 1;
    while ((i++)<=steps){
        if(d < 0){
            x += xStep;
            y += yStep;
            d += d2;
        }
        else{
            x += xStep2;
            y += yStep2;
            d += d1;
        }
        DrawPoint(x, y);
    } 
}

Bresenham算法

原理：假设一条直线，0p，y_p)。如下图所示

直线在X = X_p+1轴上的交点为(X_p+1,d₁)
d 的实际含义为直线与交点的y值与上一取点y值的长度。当d>1时，d=d - 1
设 e = d - 0.5，可确定以下
e > 0 时，则下一点取(x_p+1,x_p+1)
e < 0 时，则下一点取(x_p+1,x_p)
由于e和d只有加减关系，所以e的增量 = d的增量 = k
通常情况下，k为浮点数，而k = Δy/Δx。Δy和Δx均为整数。
可以将关于e的计算乘以Δx，避免浮点运算。
实现代码如下

void DrawLine_Bresenham2(int x0, int y0, int x1, int y1){
    int dx = Math.Abs(x1 - x0), sx = x0 < x1 ? 1 : -1;
    int dy = Math.Abs(y1 - y0), sy = y0 < y1 ? 1 : -1;
    int err = (dx > dy ? dx : -dy) / 2;

    while (true){
        DrawPoint(x0, y0);
        if (x0 == x1 && y0 == y1) break;

        if (err > -dx){
            err -= dy;
            x0 += sx;
        }
        if (err < dy){
            err += dx;
            y0 += sy;
        }
    }
}