数值计算笔记之线性方程组的直接解法（一）高斯消去法

线性方程组的一般形式：

 ， ，

解线性方程组的方法;

• 消元法
• 克莱姆法则    
• 逆矩阵法                

当未知数非常大的时候，求逆是一件工作量非常大的事，所以一般采用消元法。

一、高斯消去法的基本思想

把方程组化成同解的三角形方程组

例：

利用  式将  式的  消去：

利用  式将  的 消去：

最后，将数进行回代就可以了，

总结步骤：先消元，再回代。

一般情况下：

1. 用方程  式把  式中的 消去，得到 n 个方程记为 ；
2. 用  把 中的  消去；
3.     
4. 消去最后一个方程的 ，得

   

5. 回代：     ，      

 

二、高斯主元素消去法

当主元素 

1. 为零
2. 非常小    （误差会非常大）

那么就不适合用高斯消元法。

故就有了高斯主元素消去法。

基本思想：在进行第 k 次消元时，先考察方程 k~n 中的  的系数，然后找出其中绝对值最大者作为“主元素”（换行）

例：

解：增广矩阵

 

回代得：