MIT线性代数：4.矩阵A的LU分解

1.回顾逆矩阵

乘以逆矩阵得到单位阵需要反着乘。

第二行是第一行两边同时转置的结果，得到的结论是A转置的逆是A的逆的转置。

2.A=LU

L是LOWER也就是下三角矩阵，U是UPPER也就是上三角矩阵。

2.1A=LU

先是由E初等矩阵消元从A变化到U。

L与E是什么关系呢？答案是互为逆矩阵。

2.2A=LDU

有时候我们也可以把主元单独分离出来，得到D。

2.3L的求解

求逆的顺序要反过来，则L是这些逆的积。

为什么要用下面LU的形式而不用上面的呢？

上面可以看出，两个消元矩阵 E21（行 2 减去 2 倍行 1）和 E32（行 3 减去 5 倍的新行 2）相乘得新的右侧消元矩阵，那么，从右侧结果显示，元素 10 是我们不喜欢的（但它确实是运算结果），E21（行 2 减去 2 倍行 1）和E32（行 3 减去 5 倍的新行 2）这种顺序，行 1（元素 10）怎么就影响到了行 3 呢？这是因为，第一步中有 2 倍行 1 从行 2 中减去了，然后在第二步中又乘 5 倍从行 3 中减去，因此总共在行 3中加上了 10 倍行 1。因此，这种形式不是我们喜欢的，但逆的乘积则不是这样的。

然而L形式的矩阵则就是消元矩阵的所以乘数，2与5并不会发生冲突。只要把消元矩阵的所有乘数写出来就能得到L。

结论：A=LU，如果不存在行互换，消元乘数可以直接写入L中。即只要步骤正确，可以在得到LU 过程中把A 抛开。例如，当你完成A 第二行的消元时，为了得到LU，你只需要记住U 中新的第二行是什么，同时消元所用的乘数也需要记住，至于A 是什么不需要管。

3.置换矩阵

当矩阵主元为0时，就要进行行互换使得主元不为0，下面是3*3的置换矩阵群：

共有6个，4*4矩阵的置换矩阵群共有24个。计算公式：n*(n-1)*....*1。

共有特点：

1）置换矩阵两两相乘结果仍然在该群中

2）取其逆，也在该群中

3）个别置换矩阵的逆矩阵就是其置换矩阵本身（比如上面的前 4 个，其转置等于本身）

结论：置换矩阵的逆等于其转置