同济线代慕课：正定二次型、线性空间

1.二次型用矩阵符号写出

如何用矩阵记号写出来：
根据二次型的定义：

平方系数对应的位置是i=j一排
其余的以

为例，当j>i时，取aji = aij，则aij = aji = 1/2 （xixj的系数）

所以x（x1）相当于第一排y相当于第二个（即x2），所以a12 = a21 = -2

2.用正交变换化二次型为标准型

第一步即用矩阵写出二次型
二到四步是上节课求一个正交矩阵P使得A对角化
第五步：
P即
的可逆变换
记作x=cy中的c

至于为什么p是c？

要使得二次型f经过可逆变换x=cy变成标准型，这就要使得(C^T)AC成为对角矩阵，而我们求出来的p能使其成为，所以p和c是一个东西。

有关知识：

写在书面上，求出p后：
于是有
x = py(都要用矩阵表示出来)
把二次型f化为标准型，就是用二次型把对角化之后的矩阵表示出来。

如果要把二次型f化成规范型：
用z表示y使得系数只为-1或+1

3.用配方法化二次型

这个很好理解了，但是题目必须没有要求一定用正交变换方法
但老师说题目一般没有要求 ：）

1.含平方项

由于x = cy

所以c矩阵是根据这个写出来的。
注意：不要忘了y3 = x3

2.不含平方项

用平方差的方式配出平方项来，而且用平方差后面得到的矩阵一定是可逆的，所以没有问题。

这里直接求标准型了

c要算出来≠0
c的第一个矩阵是由

第二个矩阵是由

这里可以看出来，x = cy中的c是根据题不同。


第一个c是到标准型，标准型用的是y，所以是x到y所用的变换矩阵。
第二个c是到规范型，规范型最终用的是z，所以是x到z所用的变换矩阵，这也是为什么矩阵是两个矩阵相乘。

3. 初等变换法

额外补充的，用起来比前两个方便。

成对的初等行列变换：对A做一次初等行变换，就再对A进行一次同样的初等列变换。比如A的第三行乘以二加到第一行去就再对A第三列乘以二加到第一列去。

4. 有关性质

而规范型是唯一的

唯一性