追赶法求解三对角矩阵线性方程组的Python实现

追赶法是求大型稀疏方程之三对角线性方程组的三角分解方法，即求解方程组Ax=b，其中A为三对角矩阵，主对角线上的元素记为(a1, a2, …, an) ，紧贴主对角线上方的一根对角线上的元素记为(c1,…c(n-1) )，紧贴主对角线下方的一根对角线上的元素记为(d2, d3, …, dn)，b=(b1,…bn)
对三对角矩阵A进行Crout分解，有

A=[[α1  0  0  0 .......      [[1  β1  0  0 ......
	γ1  α2 0  0  ......    *   0   1  β2 0 ......    = LU
	0   γ1 α3 0 ......]]       0   0  1  β3......]]

依次求取αi，βi，其中
α1=a1，β1=c1/α1，γi=di
αi=ai-di*βi
βi=ci/αi

下面是一个例子

A=[[ 3  2  0
	-1  3  2
	 0 -1  3...
	 ..........]]的n阶三对角矩阵
b=(7,11,15,9)'
求解x

首先进行crout分解，将AX=b转化为LUx=b
令Ux=y，仿照平方根解法，利用Ly=b和Ux=y，解出x
代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb 11 20:19:00 2019

@author: 鹰皇
"""

#追赶法
import numpy as np
A=[[3.00000,2.00000,0.00000,0.00000],[-1.00000,3.00000,2.00000,0.00000],[0.00000,-1.00000,3.00000,2.00000],[0.00000,0.00000,-1.00000,3.00000]]
b=[[7.00000,11.00000,15.00000,9.00000]]

def get_base(A):#获得一个基，在上面修改得到答案
    base=list(np.zeros((len(A),len(A))))
    D=[]
    for i in base:
        D.append(list(i))
    return D

def get_gamma(A):#根据第一行公式γi=di
    base=get_base(A)
    for i in range(1,len(A)):
        base[i][i-1]=A[i][i-1]
    return base

def get_raw1(A,base):#根据第一行公式
    base[0][0]=A[0][0]
    base[0][1]=A[0][1]/base[0][0]
    return base

def get_other_raws(A,base,i):#递推后面几行
    base[i][i]=A[i][i]-A[i][i-1]*base[i-1][i]
    base[i][i+1]=A[i][i+1]/base[i][i]
    return base

def get_final_raw(A,base):#最后一行少一个β，另外求解，也可以和上面放在一起
    base[-1][-1]=A[-1][-1]-A[-1][-2]*base[-2][-1]
    return base

def get_all(A):#得到一个L和U并在一起的矩阵，由于U的主对角线为1，因此可以放在一起
    base=get_base(A)
    base=get_gamma(A)
    base=get_raw1(A,base)
    for i in range(1,len(A)-1):
        get_other_raws(A,base,i)
    get_final_raw(A,base)
    return base
    
def get_lower(A):#获得L
    for i in A:
        for j in i:
            if i.index(j)>A.index(i):
                A[A.index(i)][i.index(j)]=0
    return A

def get_upper(A):#获得U
    for i in A:
        for j in i:
            if i.index(j)

最后解得x=(1,2,3,4)’，解答完成