线性方程组解的结构与判别

如果线性方程组有解(齐次的存在非零解),则解的结构总结如下：
齐次方程组： 使用消元法后，分别对每一个自由变量对应的未知数取1，其他自由变量取对应的未知数0，可以获得齐次方程组的线性无关的特解，构成齐次方程组的基础解系。齐次方程组解的线性组合仍然是齐次方程组的解。
非齐次方程组： 使用消元法后，令所有的自由变量对应的未知数取0，求解主元变量对应的未知数的值，可以获得一个特解。非齐次方程组的通解是特解加上齐次方程组的线性组合。

3 解的判定

齐次线性方程组：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,

…
as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
首先需要说明的是齐次线性方程组的解只有两种情况，只有零解和有非零解。 不存在没有解的情况。
有非零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩 r 小于未知量个数 n . 矩阵中的最大的不相关的向量的个数，就叫秩。
上面的有非零解的条件有很多等价的条件：

1. 系数矩阵A是非奇异矩阵。有关奇异矩阵的内容参考博客奇异矩阵与非奇异矩阵。
2. 系数矩阵存在线性相关的列。
3. 使用消元法之后主元的数目小于未知数的数目。

非齐次线性方程组：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,

…
as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
非齐次线性方程组解的情况有三种：无解，唯一解和无穷多解。
有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 . 这有解包含了有无穷多解和唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n则存在唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n则存在无穷多解。
说明几点可以方便我们理解上面解的情况：
非齐次线性方程组的形式为：
$$Ax=b$$
上面式子的意思是求系数x，使得A的各列按照系数线性组合获得b。
系数矩阵与增广矩阵有相同的秩说明b与A的各列线性相关，b可以由A的各列线性表示，所以存在存在解。
系数矩阵与增广矩阵的秩不同说明b与A的各列线性无关，b不可以由A的各列线性表示，所以不存在存在解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且等于未知量的个数n 说明A是满秩的（列满秩），A的所有的列线性无关，就是不存在自由变量，b可以由A的各列按照唯一的系数表示，所有存在唯一解。
如果系数矩阵与增广矩阵的值相同且小于未知量的个数n说明A不是满秩的，就是A的有些列可以用其他列线性表示，就是存在自由变量，自由变量的取值是任意的，所以存在无穷多解。

参考博客：

1. 【数学基础】线性方程组解情况整理
2. 第四节 线性方程组解的结构
3. 线性方程组 解的判别 与解的结构