数据结构与算法之美（个人笔记）- 算法性能分析_复杂度分析（上）

本人在购买极客学院王争老师的《数据结构与算法之美》后，觉得里面的内容还不错，适合新手入门，故将自己的学习笔记整理了下，做个记录，供学习使用，另里面存在个人理解，难保会有差错，欢迎大家在评论区讨论，侵删。

极客学院专栏地址：https://time.geekbang.org/column/intro/126?gk_activity=0

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笔记目录： https://blog.csdn.net/lxfHaHaHa/article/details/101039494

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复杂度分析

设计算法和数据结构的时候，我们会尽量让代码运行得更快，更省存储空间，那么，用什么方法来衡量呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间复杂度分析、空间复杂度分析。

1 时间复杂度

1.1 公式分析

先把公式附上：

• n代表数据规模的大小
• T(n)代表代码执行的时间
• f(n)表示每行代码执行的总数之和，因为是个以n为自变量的函数，故用f(n)表示
• O（大写的o）用来表示T(n)与f(n)成正比

第一个例子：

int cal(int n) {   
	int sum = 0;   
	int i = 1;   
	for (; i <= n; ++i) {     
		sum = sum + i;  
	 }   
	 return sum; 
}

假设每一行代码运行的时间是一样的，为一个时间单位Unit_time，则第2、3、7行各运行了1个Unit_time，第4、5行各运行了n遍，即最后为2n+3个时间单位。

T(n)=O(f(n))=O(2n+3)

第二个例子：

int cal(int n) {  
	int sum = 0;   
	int i = 1;   
	int j = 1;   
	for (; i <= n; ++i) {    
		 j = 1;    
		  for (; j <= n; ++j) {       
		  	sum = sum +  i * j;     
		  }   
	} 
}

假设每一行代码运行的时间是一样的，为一个时间单位Unit_time，则第2、3、4行各运行了1个Unit_time，第5、6行各运行了n遍，第7、8行各运行了n*n遍，即最后为2n^2+2n+3个时间单位。

T(n)=O(f(n))=O(2n^2+2n+3)

好了，我们现在引出时间复杂度的概念，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比，即T(n)=O(f(n))。
这里的大O时间复杂度表示法，实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
另外，当数据量规模n变大，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了。

第一个例子的时间复杂度为：T(n)=O(n)
第一个例子的时间复杂度为： T(n)=O(n^2)

1.2 方法

这里，给了三个trick：

• 只关注循环次数最多的一段代码
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
• 乘法法则：嵌套代码的时间复杂度由嵌套内外的时间复杂度相乘。如上面的例子2是有两个for循环嵌套起来的，其实可以看成g1(g2(n))，故最后为n*n

1.3 常见时间复杂度公式

• 粗略的分为，多项式量级和非多项式量级，只有O(2^n)和O(n!)是非多项式量级
• 随着数据规模n的增加，非多项式量级（NP复杂度）会爆发式增长，耗费时间也越来越多，是效率非常低的算法
• O(1)是常量级时间复杂度的一种表达方式，不是指只运行了一行，运行了100行、一万行这种数目一定的都是O(1)
• O(logn）是对数时间复杂度，因为系数可以省略，所以log2n、log3n这种都说logn
• O(m+n)这种是有两个数据规模存在，因为事先不能确定二者的量级，故不能简单的用加法法则表示

2 空间复杂度

既然时间复杂度是指渐进时间复杂度，那么相似的，空间复杂度也是相似空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i = 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第2行申请一个存储单位i，第三行申请n个存储单位，故空间复杂度为O(n)

Tips: 常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

3.小结

• 时间复杂度：渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系
• 空间复杂度：渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

4.课后思考

有人说，我们项目之前都会进行性能测试，再做代码的时间复杂度、空间复杂度分析，是不是多此一举呢？而且，每段代码都分析一下时间复杂度、空间复杂度，是不是很浪费时间呢？你怎么看待这个问题呢？

不是这样的，我觉得作为一个合格的开发人员，要对开发有敬畏之心。
像厨师想炒出色香味俱全的菜肴一样，我们对code也要有追求。
当你打出时间空间复杂度方面都很优秀的代码的时候，你会觉得很自豪，就像士兵胜战而归，美人笑颜相对。
而且，时不时的考虑复杂度方面的问题，对改进算法的方向能有一个大致的把握，对自我能力的提升也是很有帮助的。