bzoj 2326 数学作业（dp+矩阵快速幂）

题目：
Description
小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：给定正整数 N 和 M
要求计算 Concatenate (1 … N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 …N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。
例如，N = 13, Concatenate (1 … N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，
于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
Input
只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，
1≤N≤10^{18且1≤M≤10}9.
Output
仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 … N) Mod M 的值。

Sample Input
13 13
Sample Output
4

题解：
很显然能推出一个dp式，然后因为n十分巨大，1e18显然不能枚举递推，所以观察后采用矩阵快速幂来求这个递推式的第n项，不过这个矩阵快速幂有一项和 n 的数位位数有关，因此需要分段做矩阵快速幂求解。

AC代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mo;
const int maxn=5;
ll n,m;
struct ahaha
{
	ll a[maxn][maxn];     //一定要用long long存矩阵，否则在过程中会爆掉
	ahaha()
	{
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	inline void build()
	{     //建造单位矩阵
		for(int i=1;i<=3;++i) a[i][i]=1ll;
	}
}a;
ahaha operator *(const ahaha &x,const ahaha &y)
{     //重载运算符
	ahaha z;
	for(int k=1;k<=3;++k)
		for(int i=1;i<=3;++i)
			for(int j=1;j<=3;++j)
				z.a[i][j]=(z.a[i][j]%mo+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
	return z;
}
ll k;
ahaha qk(ahaha a,ll b)
{
	ahaha ans;
	ans.build();
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	mo=m;
	ahaha fin;
	fin.a[1][1]=0ll%mo;
	fin.a[1][2]=0ll%mo;
	fin.a[1][3]=1ll%mo;
	ll cnt=9ll;
	ahaha zz;zz.build();
	ahaha mid;
	mid.a[1][1]=10ll%mo;mid.a[2][1]=mid.a[2][2]=mid.a[3][1]=mid.a[3][2]=mid.a[3][3]=1ll;
	while(n>cnt)
	{
		ahaha zzz=qk(mid,1ll*(cnt-cnt/10ll));
		zz=zz*zzz;
		cnt=cnt*10ll+9ll;
		mid.a[1][1]=(mid.a[1][1]*10ll)%mo;
	}
	ahaha zzz=qk(mid,1ll*(n-cnt/10));
	zz=zz*zzz;
	fin=fin*zz;
	printf("%lld\n",fin.a[1][1]);
	return 0;
}