专题·扩展欧几里得定理【including 求解二元一次方程，线性同余方程
初见安~这里是基础数论专题（3）~【详见数论专栏】
p.s：本文章假设你已经掌握了欧几里得算法——辗转相除法求最大公约数（gcd）
一、二元一次方程
形如
的含有两个未知数且最高次数为1的方程我们称之为二元一次方程。
很显然，一般的二元一次方程的解都是有很多组的，并没有唯一解。
我们先不讨论其他的，尝试一下解方程的整数解：）
我们知道，在辗转相除法中，gcd（a，b）=gcd（b，a % b）。而取余的操作又可以写成：a - a / b * b（这里是整除），所以带入原式子可以得到：
再由此可得：
而x‘ 和y'在辗转相除法中都可以逆推回来，也就是说可以得到这么一个表格：
以99x + 78y = 6为例
| a | b | a/b | x | y |
| 99 | 78 | 1 | -22 | 28 |
| 78 | 21 | 3 | 6 | -22 |
| 21 | 15 | 1 | -4 | 6 |
| 15 | 6 | 2 | 2 | -4 |
| 6 | 3 | 2 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | NA | 2 | 0 |
左边两列由上往下通过辗转相除法推出，靠右两列从下往上通过刚才得出的公式推出，得到一组特解：x = -22， y = 28。
那么如何表示出所有的解呢？
很明显的，在特解（x0， y0）的基础上，其余均有（x0 + d1 * k, y0 + d2 * k）（k为整数）作为解成立。即
。再结合ax + by = c可得：
所以可以表示得到：
所以方程的解就可以表示为：
如上述例子中，x0 = -22，y0 = 28，则通解为：（-22 + 26k， 28 - 33k）（k为整数）。
如此解法，就是扩展欧几里得定理。
代码实现的话直接套用我们表格旁的公式，递归gcd后回溯时计算即可。【记得保存x'】
二、线性同余方程
形如
，即
且唯一未知数为一次的方程为线性同余方程。
x为同余方程a关于b模n的解。也就是说ax和b同余。x一定为整数。
那么线性同余方程如何求解呢？首先我们观察——，那么为我们可以通过取余的性质转化为
这么一个二元一次方程来求解就行啦。
但是这里有一个问题——同余和二元一次方程还是有区别的，同余的话不一定有解。在欧几里得定理的基础上，我们可以求得
的整数解，但是如果b并不是gcd（a，n）的倍数的话，求解出来的同余方程的解就是个分数了，也就是无解。
那么如果有解呢——因为同余方程有个取余的操作，也就是说x % d = x，(x + d)%d=x。所以如果有解，则恰好有gcd（a，n）个解。
求解同余方程的时候一定要注意一个问题——你求的ax + ny到底是b还是gcd(a, n)，因为这涉及到一个到底是处理结果x还是处理a、n的问题，一定要小心。
代码的话就在扩欧的最后特判是否有解即可，具体操作具体到题目上。
关于求同余方程最小正整数解的问题，在逆元（传送门建设中）讲解后补充上~
迎评：）
——End——