高斯消除矩阵

矩阵运算

初始矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$$

运算流程

规定从第一个元素 a₁₁ 开始， 如果a₁₁ !=0 ,那么第一行除以a₁₁然后减去相应的倍数从每个其他行,第一行归零法第一个条目的所有行（条件a₁₁>0）, 其他项自身 减去矩阵第一行的值*当前行的第一个值

• 操作步骤
  • a₁₁ 变成1
  • a₂₁ 变成0
  • a₃₁ 变成0
  • 第一行每一个除a₁₁
  • 第二行 自身 - 第一个数*第一行值
  • 第三行 自身 - 第一个数*第一行值

$$\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{a_{12}}{a_{11}}& \frac{a_{13}}{a_{11}}\\ 0& a_{22}-a_{21}\ast \frac{a_{12}}{a_{11}}& a_{23}-a_{21}\ast \frac{a_{13}}{a_{11}}\\ 0& a_{32}-a_{31}\ast \frac{a_{12}}{a_{11}}& a_{33}-a_{31}\ast \frac{a_{13}}{a_{11}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{b_1}{a_{11}}\\ b_2-a_{21}\ast \frac{b_1}{a_{11}}\\ b_3-a_{31}\ast \frac{b_1}{a_{11}}\end{array}\right)$$

实践

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right)$$

第一步

• 计算最外圈
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{2}{1}& \frac{1}{1}\\ (3)& 8-3\ast \frac{2}{1}& 1-3\ast \frac{1}{1}\\ (0)& 4-0\ast \frac{2}{1}& 1-0\ast \frac{1}{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{1}\\ 12-3\ast \frac{2}{1}\\ 2-0\ast \frac{2}{1}\end{array}\right)$$
• 计算结果
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 2\end{array}\right)$$

第二步

• 计算下一个环
  $$\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{cc}(2)& \frac{2}{-2}\\ (4)& 1-4\ast \frac{2}{-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{6}{2}\\ 2-4\ast \frac{6}{2}\end{array}\right)$$
• 计算结果$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -10\end{array}\right)$$

第三步

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right)$$$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\\ z=-2\end{array}$$