博弈论 ( 斐波那契博弈 )——取石子游戏 ( HDU 2516 )

• 题目链接：
  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516

• 分析：
  游戏规则：
  ① 先手不能一次取完所有石子
  ② 之和每次可以取得的石子数在1～上次对方取的石子数的两倍之间（闭区间）
  ③先取完的获胜

• 题解：
  通过数学归纳法找规律，得出必败数。
  过程：

  • 2块石头：先手败
  • 3块石头：先手败
  • 4块石头：先手赢（先取1，后者怎么取，先手都能赢）
  • 5块石头：先手败（无法到达必胜点4）
  • 6块石头：先手胜（先手拿一块，使对方位于必败点5）
  • 7块石头：先手胜（理由同上，注意，如果双倍先手拿的能拿完整个石堆就不行了）
  • 8块石头：先手败（先手拿三块及以上就直接输了，拿1或2块则使对方处于必胜点）
  • 9块石头：先手胜（直接使对方位于必败8）
  • 10块石头：先手胜（同上）
  • 11块石头：先手胜（同上）
  • 12块石头：先手胜（不能直接拿4块，否则对方会拿完，所以分步来，先拿1块使得对方位于必败3：对方只能拿1或者2，然后再补刀到必败8；或者可以计算差值，12到最近的必败点8差4,4是必胜点，所以12也是必胜点）
  • 13块石头：先手败（照上面的做法，13到最近的必败点8差5，但5是必败点，所以13必败）
  • …
  • 推出结论
  • 2,3,5,8,13为必败点，根据找最近必败点的规律，我们可以发现若不能直接使得对方陷入必败点的话，就需要开始计算与最近必败点的差值来判断，如此推算，我们可以得出每个必败点刚好是前两个必败点的和，即斐波那契数。

• AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;

LL Fib[222];
mapint> Q;

void init()
{
    Fib[0] = 0;
    Fib[1] = 1;
    Q[0] = 1;
    Q[1] = 1;
    for(int i=2;i<=100;i++)
    { 
        Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
        Q[Fib[i]] = 1;
    }
}
LL n;

int main()
{
    init();
    while(~scanf("%lld", &n)&&n)
    {
        if(Q.count(n) == 1)
          cout << "Second win\n";
        else
          cout << "First win\n";
    }
    return 0;
}