图解红黑树
文章目录
- 1.红黑树简介
- 2.红黑树的自平衡
- 3.红黑树的查找
- 4.红黑树的插入
- 4.红黑树的删除
- 5.小结
- 参考文献
1.红黑树简介
红黑树（Red Black Tree）是一种含有红黑结点并能自平衡二叉查找树，典型的用途是实现 map。
它必须满足下面规则：
规则1：每个结点要么是黑色，要么是红色。
规则2：根结点是黑色。
规则3：每个叶子结点（NIL）是黑色。
规则4：每个红色结点的两个子结点都是黑色。
规则5：任意一结点到每个叶子结点的路径都包含相同数量的黑结点。
记住上面的规则也不难，我们会发现黑色结点非常特殊，规则1即“非红即黑”，规则2和3即“首尾全黑”，规则4即“红子双黑”，规则5即“路径等黑”。
这些规则强制约束红黑树，使得红黑树具有如下关键特性:
（1）从根到叶子的最长路径不大于最短路径的两倍，所以红黑树大致上是平衡的。
从规则5中，我们知道从根结点到每个叶子结点的黑色结点数量是一样的，那么纯由黑色结点组成的路径就是最短路径；
规则4表明路径上不能有两个连续的红色结点，除了根结点和叶子结点，当红色结点和黑色结点交替出现数量相同时，即位最长路径。
（2）加入到红黑树中的结点为红色结点。
从规则4中知道，当前红黑树中从根结点到每个叶子结点的黑色结点数量是一样的，此时假如新的黑色结点的话，必然破坏规则，但加入红色结点却不一定，除非其父结点就是红色结点，因此加入红色结点，破坏规则的可能性小一些。
下面是一个红黑树示例：
2.红黑树的自平衡
再了解红黑树的基本性质后，红黑树是如何实现自平衡的呢？红黑树总是通过旋转和变色达到自平衡。
左旋： 以某个结点作为旋转结点，拎起其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点。
右旋：
以某个结点作为旋转结点，拎起其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点。
变色： 结点的颜色由红变黑或由黑变红。
上面所说的旋转结点即上图中的 P 结点。
我们先忽略颜色，可以看到旋转操作不会影响旋转结点的父结点，父结点及以上的结构还是保持不变，所以旋转操作是局部的。
3.红黑树的查找
因为红黑树是一颗二叉平衡树，并且查找不会破坏树的平衡，所以查找跟二叉平衡树的查找无异：
1 从根结点开始查找，把根结点设置为当前结点；
2 若当前结点为空，返回 null；
3 若当前结点不为空，用当前结点的 key 跟查找 key 作比较；
4 若当前结点 key 等于查找 key，那么该 key 就是查找目标，返回当前结点；
5 若当前结点 key 大于查找key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 2；
6 若当前结点key小于查找key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 2；
4.红黑树的插入
插入操作包括两部分工作：一查找插入的位置；二插入后自平衡。查找插入的父结点很简单，跟查找操作区别不大，这里便不再赘述，重点介绍插入结点后的自平衡。
当我们插入值为 66 的结点时，红黑树变成了这样。
很明显，这个时候结构依然遵循着上述 5 大规则，无需启动自动平衡机制调整结点平衡状态。
如果再向里面插入值为 51 的结点呢，这个时候红黑树变成了这样。
很明显现在的结构不遵循规则 4 了，这个时候就需要启动自动平衡机制调整结点平衡状态。
变色：
我们可以通过变色的方式，使结构满足红黑树的规则。
1 首先解决结构不遵循规则 4 这一点，红色结点的子结点必须为黑色，需将结点 49 改为黑色；
2 此时我们发现又违反了规则 5，结点 49 所在路径多了个黑色结点，那么我们将结点 45 改为红色结点；
3 发现又违反了规则 4，那么我们将结点 56 和结点 43 改为黑色结点；
4 但是我们发现此时又违反了规则 5（60-56-XX 路径的黑色结点比60-68-XX的黑色结点多），因此我们需要调整结点 68 为黑色；
5 完成。
最终调整完成后的树为：
但并不是什么时候都那么幸运，可以直接通过变色就达成目的，大多数时候还需要通过旋转来解决。
旋转：
如在下面这棵树的基础上，加入结点 65。
插入结点65后进行以下自平衡步骤。
这个时候，你会发现对于结点64无论是红色结点还是黑色结点，都会违反规则5，路径中的黑色结点始终无法达成一致，这个时候仅通过【变色】已经无法达成目的。我们需要通过旋转操作，当然【旋转】操作一般还需要搭配【变色】操作。
无法通过变色而进行旋转的场景分为以下四种：
（1）左左结点旋转。
这种情况下，父结点和插入的结点都是左结点，如下图这种情况下，我们要插入结点 65。
按照规则，步骤如下：
（2）左右结点旋转。
规则如下：先父结点【左旋】，然后祖父结点【右旋】，搭配【变色】。
按照规则，步骤如下：
（3）右左结点旋转。
这种情况下，父结点是右结点，插入的结点是左结点，如下图(旋转原始图2)这种情况，我们要插入结点68。
规则如下：先父结点【右旋】，然后祖父结点【左旋】，搭配【变色】。
按照规则，步骤如下：
（4）右右结点旋转。
这种情况下，父结点和插入的结点都是右结点，在旋转原始图2中，我们要插入结点70
规则如下：以祖父结点【左旋】，搭配【变色】。
按照规则，步骤如下：
红黑树插入总结：
（1）无需调整。
当父结点为黑色时插入子结点。
（2）【变色】即可实现平衡。
1 空树插入根结点，将根结点红色变为黑色；
2 父结点和叔父结点都为红色。
（3）【旋转+变色】才可实现平衡。
1 父结点为红色左结点，叔父结点为黑色，插入左子结点，那么通过【左左结点旋转】;
2 父结点为红色左结点，叔父结点为黑色，插入右子结点，那么通过【左右结点旋转】;
3 父结点为红色右结点，叔父结点为黑色，插入左子结点，那么通过【右左结点旋转】;
4 父结点为红色右结点，叔父结点为黑色，插入右子结点，那么通过【右右结点旋转】。
4.红黑树的删除
相比较于红黑树的结点插入，删除结点更为复杂，我们从子结点是否为null和红色为思考维度来讨论。
（1）子结点至少有一个为 null。
当待删除的结点的子结点至少有一个为null结点时，删除了该结点后，将其有值的结点取代当前结点即可，若都为null，则将当前结点设置为null，当然如果违反规则了，则按需调整，如【变色】以及【旋转】。
（2）子结点都是非null结点。
这种情况下，
第一步：找到该结点的前驱或者后继
前驱：左子树中值最大的结点（可得出其最多只有一个非null子结点，可能都为null）；
后继：右子树中值最小的结点（可得出其最多只有一个非null子结点，可能都为null）；
前驱和后继都是值最接近该结点值的结点，类似于该结点.prev = 前驱，该结点.next = 后继。
第二步：将前驱或者后继的值复制到该结点中，然后删掉前驱或者后继。
如果删除的是左结点，则将前驱的值复制到该结点中，然后删除前驱；如果删除的是右结点，则将后继的值复制到该结点中，然后删除后继；
这相当于是一种“取巧”的方法，我们删除结点的目的是使该结点的值在红黑树上不存在，因此专注于该目的，我们并不关注删除结点时是否真是我们想删除的那个结点，同时我们也不需考虑树结构的变化，因为树的结构本身就会因为自动平衡机制而经常进行调整。
前面我们已经说了，我们要删除的实际上是前驱或者后继，因此我们就以前驱为主线来讲解，后继的学习可参考前驱，包括几种情况。
（a）前驱为黑色结点，并且有一个非null子结点。
分析：
因为要删除的是左结点64，找到该结点的前驱63；然后用前驱的值63替换待删除结点的值64，此时两个结点（待删除结点和前驱）的值都为63；删除前驱63，此时成为上图过程中间环节，但我们发现其不符合红黑树规则4，因此需要进行自动平衡调整，这里直接通过【变色】即可完成。
（b）前驱为黑色结点，同时子结点都为null。
分析：
因为要删除的是左结点 64，找到该结点的前驱 63；然后用前驱的值63替换待删除结点的值64，此时两个结点（待删除结点和前驱）的值都为63；删除前驱63，此时成为上图过程中间环节，但我们发现其不符合红黑树规则5，因此需要进行自动平衡调整，这里直接通过【变色】即可完成。
（c）前驱为红色结点，同时子结点都为null。
分析：
因为要删除的是左结点64，找到该结点的前驱63；然后用前驱的值63替换待删除结点的值64，此时两个结点（待删除结点和前驱）的值都为63；删除前驱63，树的结构并没有打破规则。
（3）红黑树删除总结。
红黑树删除的情况比较多，但也就存在以下情况：
删除的是根结点，则直接将根结点置为null;
待删除结点的左右子结点都为null，删除时将该结点置为null;
待删除结点的左右子结点有一个有值，则用有值的结点替换该结点即可；
待删除结点的左右子结点都不为null，则找前驱或者后继，将前驱或者后继的值复制到该结点中，然后删除前驱或者后继；
结点删除后可能会造成红黑树的不平衡，这时我们需通过【变色】+【旋转】的方式来调整，使之平衡，上面也给出了例子，建议大家多多练习，而不必背下来。
5.小结
本文主要介绍了红黑树的相关原理，包括红黑树的性质、查找、插入和删除，以及变色和旋转来达到树的自平衡。针对红黑树的5大规则，对红黑树的插入和删除操作，使用了大量的图形来加以说明。红黑树的使用非常广泛，如 C++ map 和 Java TreeMap、TreeSet 都是基于红黑树实现的，而 JDK8 中 HashMap 当链表长度大于 8 时也会转化为红黑树。红黑树比较复杂，本人也是还在学习过程中，如果有不对的地方请批评指正，同进步谢谢。
参考文献
[1] 简书.30张图带你彻底理解红黑树
[2] 博客园.关于红黑树(R-B tree)原理，看这篇如何