图论——最短路:Floyd,Dijkstra,Bellman-Ford,SPFA算法及最小环问题

转载自——》https://www.cnblogs.com/ninedream/p/11186049.html

一.Floyd算法

  用于计算任意两个节点之间的最短路径。

        参考了five20的博客

        Floyd算法的基本思想如下:从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能,1是直接从A到B,2是从A经过若干个节点到B,所以,我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离,对于每一个节点K,我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立,如果成立,证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短,我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB),这样一来,当我们遍历完所有节点K,dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

 标准五行代码如下:

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for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++) {
            if(dis[i][k]+dis[k][j]
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   但是这里我们要注意循环的嵌套顺序,如果把检查所有节点K放在最内层,那么结果将是不正确的,为什么呢?因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了,而当后面存在更短的路径时,已经不再会更新了。

  

  更多关于Floyd算法,详细请见:Floyd算法百度百科链接

 

二.Dijkstra算法:

  适用于权值为非负的图的单源最短路径。

  斐波那契堆优化的时间复杂度为O(E+VlogV),但其实只是理论值,实际中基本上达不到。

  算法思路:

  参考了殷天文的博客

  • 指定一个节点,例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径
  • 引入两个集合(S、U),S集合包含已求出的最短路径的点(以及相应的最短长度),U集合包含未求出最短路径的点(以及A到该点的路径,注意 如上图所示,A->C由于没有直接相连 初始时为∞
  • 初始化两个集合,S集合初始时 只有当前要计算的节点,A->A = 0
    U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞敲黑板!!!接下来要的两个步骤是核心!
  • 从U集合中找出路径最短的点,加入S集合,例如 A->D = 2
  • 更新U集合路径,if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 则更新U
  • 循环执行 4、5 两步骤,直至遍历结束,得到A 到其他节点的最短路径

  朴素版时间复杂度O(n²)算法代码如下:

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void Dijkstra()
{
    memset(dis, 0x1f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        int min_len = 1e9, k = 0;
        for (int j=1; j<=n; j++)     
            if (!vis[j] && dis[j] < min_len) {
                min_len = dis[j];
                k = j;
            }
        vis[k] = 1;     
        for (int j=h[k]; j!=-1; j=edge[j].next) {    
            int to = edge[j].to, w = edge[j].w;
            if (!vis[to] && dis[to] > dis[k]+w) {
                dis[to] = dis[k]+w;
            }
        }
    }
}
复制代码

 

  稳定时间复杂度O(mlogn)的堆优化(优先队列代替)代码如下:

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void Dijkstra_Heap()
{
    priority_queue > q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(v));
    dis[1] = 0; 
    q.push(make_pair(0, 1));
    while (!q.empty()) {
        int now = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[now]) continue;
        vis[now] = 1;
        for (int i=h[now]; i!=-1; i=edge[i].next) {
            int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
            if (!vis[to] && dis[to]>dis[now]+w) {
                dis[to] = dis[now] + w;
                q.push(make_pair(-dis[to], to));
            }
        }
    }
} 
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这里有一个关于优先队列的小骚操作:

  由于STL中的优先队列默认是大根堆,所以在使用push函数的时候只需在需要排序的数据前加个‘-’即可。

  关于Dijkstra算法的选择上,对于稀疏图,由于n和m比较接近,故选择堆优化算法;而对于稠密图,由于点少边多,故选择朴素版算法

  更多关于Dijkstra算法,详细请见:Dijkstra算法百度百科链接

   推荐博客:数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解

 

三.Bellman-Ford算法

  参考博客:图解贝尔曼福特-算法

可用于解决以下问题:

  • 从A出发是否存在到达各个节点的路径(有计算出值当然就可以到达);
  • 从A出发到达各个节点最短路径(时间最少、或者路径最少等)
  • 图中是否存在负环路(权重之和为负数)
  • 有边数限制的最短路

  算法思路:

  1.  初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为∞,dist(s->s)赋值为0
  2.  后续进行最多n-1次遍历操作,对所有的边进行松弛操作,假设:
  3.  所谓的松弛,以边ab为例,若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数, dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重, 若存在:
  4.  (dist(a) +weight(ab)) < dist(b)
  5.  则说明存在到b的更短的路径,s->...->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab)),父节点为a
  6.  遍历都结束后,若再进行一次遍历,还能得到s到某些节点更短的路径的话,则说明存在负环路

  思路上与狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm)最大的不同是每次都是从源点s重新出发进行"松弛"更新操作,而Dijkstra则是从源点出发向外扩逐个处理相邻的节点,不会去重复处理节点,这边也可以看出Dijkstra效率相对更高点。

   下面是有边数k限制的Bellman_ford算法模板:

复制代码
void Bellman_ford()
{
    memset(dis,0x1f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        memcpy(last,dis,sizeof(last));
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int u=edge[j].u,v=edge[j].v,w=edge[j].w;
            if(dis[v]>last[u]+w)dis[v]=last[u]+w;
        }
    }
}
复制代码

  

  更多关于Bellman-Ford算法,详细请见:Bellman-Ford算法百度百科链接

 

四.SPFA算法

  SPFA是西安交通大学的段凡丁在1994年与《西安交通大学学报》中发表的“关于最短路径的SPFA快速算法”,他在里面说SPFA速度比Dijkstra快,且运行V次的SPFA速度比Floyd速度快。
  而事实证明SPFA算法是有局限的,他不适用于稠密图,对于特别情况的稠密图,SPFA复杂度和BellmanFord时间一样。

  适用范围:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般<=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).

  注意:SPFA算法在网格图中非常慢

  算法思路:

  参考了小天位的博客

  •  SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]。
  •  是Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。
  •  算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素,并对所有与他相邻的点进行松弛,若某个相邻的点松弛成功,则将其入队。 直到队列为空时算法结束。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。
  • SPFA 在形式上和BFS非常类似,不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中,一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。
  •  判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)。

  代码如下:

复制代码
void SPFA() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue q;
    dis[1] = 0; vis[1] = 1;
    q.push(1);
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front();
        q.pop(); vis[now] = 0;
        for (int i=h[now]; i!=-1; i=edge[i].next) {
            int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
            if (dis[now]+w < dis[to]) {  //在队列中的点也可以进行松弛操作,故这里不需加!ifq[to]的条件,而需要加在下面。
                dis[to] = dis[now]+w;
                if (!vis[to]) q.push(to), vis[to] = 1;
            }
        }
    }
}
复制代码

 

  更多关于SPFA算法,详细请见:SPFA算法百度百科链接

 

五.最小环问题

  解决思路:

  最小环就是指在一张图中找出一个环,使得这个环上的各条边的权值之和最小。在Floyed的同时,可以顺便算出最小环。

  记两点间的最短路为dis[i][j],g[i][j]为边的权值。 

  一个环中的最大结点为k(编号最大),与它相连的两个点为i,j,这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+(i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度)。

  根据Floyed的原理,在最外层循环做了k-1次之后,dis[i][j]则代表了i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径。

  综上所述,该算法一定能找到图中最小环。

  代码如下:

  参考了Coder_YX的博客

复制代码
 void floyd(){
     int MinCost = inf;
     for(int k=1;k<=n;k++){
         for(int i=1;i
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关于四种最短路算法的结论:

 参考了xiazdong的博客

(1)当权值为非负时,用Dijkstra。
(2)当权值有负值,且没有负圈,则用SPFA,SPFA能检测负圈,但是不能输出负圈。
(3)当权值有负值,而且可能存在负圈,则用BellmanFord,能够检测并输出负圈。
(4)SPFA检测负环:当存在一个点入队大于等于V次,则有负环。

转载于:https://www.cnblogs.com/myhnb/p/11244659.html

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