质数的无穷性——从素数到数论

很多自然数都可分解成一些更小的数（直至不可再分，即为素数）的乘积，例如 12=4×3 ，其中 4=2×2 ，因此 12=2×2×3 。而此时，2 和 3都不可再继续进行分解了，它们是最基本、最纯净的数，我们就把这样的数叫做“质数”或者“素数”。同样地，2/3/5/7/11/13等等都是不可分解的，它们也都是质数。它们是自然数的构件（building blocks），是自然数世界的基本元素。12 由两个 2 和一个 3 组成，正如水分子（ H2O ）是由两个氢原子和一个氧原子组成的一样。只不过，和化学世界不同的是，自然数世界里的基本元素是无限的——质数有无穷多个。

关于为什么质数有无穷多个，欧几里得有一个非常漂亮的证明。反证法进行证明，假如质数只有有限个，其中最大的那个质数为 P （既然是最大的，也即，凡大于 P 的数均不是素数）。现在把所有的质数连乘起来，再加一，得到一个新的数 N ，也即， N=2⋅3⋅4⋅5⋅…⋅P+1 ，注意到 N 除以每一个质数都会余1。这意味着， N 不能被任意一个质数整除，换句话说 N 不可被分解，也即为素数。于是产生矛盾。质数有无限多个。

需要补充的的一点是，这个证明容易让人产生误解，即把头 n 个质数连乘起来再加1，总能产生一个新的质数。这是不对的，因为既然只是选择的前 n 个（哪怕 n 很大），那么所得数就有可能是那些我们没有乘进去的质数构成的，比如 2⋅3⋅4⋅5⋅7⋅11⋅13+1=30031 ，它可以被分解为 59×509 。

从欧几里得时代就开始，人们近乎疯狂地想要认识自然数的本质规律。组成自然数的基本元素（也即是质数）自然就成为了一个绝佳的突破口，于是对质数的研究成为了探索自然数世界的一个永久的话题。也是今天所说的“数论”。

用质数理论来研究说，真的会非常方便。 a 是 b 的倍数（或者说 a 能被 b 整除， b 是 a 的约数），意为 a 拥有 b 所含的每一种质数，并且个数不会更少， 12=2×2×3,a=12×15=2×2×3×3×5 ，

• 12 中有两个2，180 中也有两个2
• 12 中有一个3，180 中有两个3
• 180 中还包含 12 中没有的质数，也即是 5；
• 对于每一种质数，12 里面所含的个数都比不过 180，这其实是表明 12 是 180 的约数；

假设 a=36=2×2×3×3,b=120=5!=2×2×2×3×5 ，那么， a 和 b 的最大公约数是多少？我们可以依次考察，最大公约数里面可能会包含哪些质数，以及每个质数的个数。

• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数2？显然最多包含 2 个，否则无法整除 36
• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数 3？显然只有一个，否则无法整除 120.
• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数 5？显然一个都不能有，否则无法整除 36；
• 因此， 36 和 120 的最大公约数为 2×2×3=12

我们接着来看 a 和 b 的最小公倍数的构造。我们希望每种质数在数量足够的前提下越少越好（最小上界），为了让这个数既是 a 的倍数，又是 b 的倍数，三个2是必须的，两个3是必须的，一个5也是必须的。因此， a 和 b 的最小公倍数就是 23×32×51=360 。便会发现 12×360=36×360 .

这其实也不奇怪，在最大公约数里面，每种质数有多少个，取决于 a 和 b 当中谁含的这种质数更少一些，

36=2×2×3×3120=2×2×2×3×5

在最小公倍数的构成里面，每种质数有多少个，取决于 a 和 b 当中谁所包含的这种质数更多一些，

36=2×2×3×3120=2×2×2×3×5

两者“互补”，最大公约数与最小公倍数乘在一起，也就相当于把 a 和 b 各自所包含的质数都乘了一个遍。这即刻为我们带来了一个熟悉的推论：如果两数互质（最大公约数为1），这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

两数互质，相当于说这两个数不包含任何相同的质数，如果 a 与 c 互质， b 与 c 互质，显然 a⋅b 也与 c 互质。还有另外一个结论，如果 a 与 b 是两个不同的质数，则这两个数一定是互质的。

关于质数，有很多有趣美妙的定理。1640年，法国业余数学家 Pierre de Fermat（也即是费马大定理的提出者：费马）发现，如果 n 为质数，那么对于任意一个数 a ， a 的 n 次方减去 a 都将是 n 的倍数（ n|an−a ）。例如，7是一个质数，则 27−2,37−3,47−4 ，甚至 1007−100 ，统统都能被 7 整除。

Fermat 小定理有一个等价的表述：如果 n 是一个质数的话，那么对于任意一个数 a ，随着 i 的增加， ai%n （也即关于 n 的余数）将会呈现长度为 n−1 的周期性，也即 ai%n=ai+n−1%n 。

• 这是因为 n|an−a ，也即 an≡a(modn) ，也即依次计算 a1,a2,…,an 关于 n 的余数时， an 余数将会变得和 a1 （最开始的）相同，
• 另一方面， ai%n 的余数，完全由前一项 ai−1%n （所决定）。比如 33/7 的 3余6，这表明， 33 里包含 3 个 7 以及一个 6；因此， 34 里就包含 9 个 7（能够被7整除） 以及 3个6。为了得到 34=33⋅3 关于 7 的余数，只需要看 18 除以 7 余多少就行了。可见，要想计算 ai 关于 n 的余数， ai%n=[a⋅(ai−1%n)]%n
• 综上，得证

>>> a, n, N = 3, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)]

[
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3]

需要注意的是， n−1 并非是最小的周期。我们来看 2i 除以7的余数情况， 7−1=6 也是一个周期，但 3 其实是它更小的周期：

>>> a, n, N = 2, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)]
[2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2]

如果除数 n 不是质数（而非质数是由质数构成），比如是两个质数的乘积（比如 35），周期的长度又会怎样呢？ 3i 关于 35 的余数又有什么规律呢？注意到 5 和 7是两个不同的质数，它们显然直接就互质了。根据中国剩余定理，一个数除以 35 的余数就可以唯一地由它除以 5 的余数和除以 7 的余数确定出来。因而，为了研究 3i 除以 35 的余数，我们只需要观察 3i%5,3i%7 即可。由费马小定理可知，数列 3i%5 有一个长为 4 的周期，数列 3i%7 有一个长为 6 的周期。4 和 6 的最小公倍数是 12，因此 3i%5,3i%7 存在一个长为 12 的周期。到了 i=13 时， 3i%5,3i%7 将会开始重复，也即 3i 除以 35的余数将从此处开始发生循环。

>>> a, n, N = 3, 35, 37
>>> l = [a**i%n for i in range(1, 1+N)]
>>> print([l[i*12:(i+1)*12] for i in range(len(l))])

[   [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], 
    [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], 
    [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1]
]

类似地，假如某个整数 n 等于两个质数 p 、 q 的乘积，那么对于任意一个整数 a ，写出 ai 依次除以 n 所得的余数序列， (p−1)、(q−1) 的最小公倍数将称为该序列的一个周期。事实上， p−1 和 q−1 的任意一个公倍数，比如表达起来最为方便的 (p−1)×(q−1) ，也将成为该序列的一个周期。这个规律可以用来解释很多数学现象。例如，大家可能早就注意过，任何一个数的乘方（ ai ），其个位数（ %10 ）都会呈现出长度为 4 的周期（这包括周期为1（5）和周期为2（4）的情况），其实是因为，10 等于 2 和 5 这两个质数的乘积，而 (2−1)×(5−1)=4 。

1736年，瑞士大数学家 Leonhard Euler（欧拉）对此进行了进一步的研究，讨论了当 n 是更复杂的数时推导余数序列循环周期的方法，得到了一个非常漂亮的结果：在 1 到 n 的范围内有多少个数和 n 互质（包括1在内）， a 的 i 次方除以 n 的余数序列就会有一个多长的周期。为了将上述定理和其他的 “Euler 定理”区别开来，有时也称它为 “Fermat-Euler” 定理。