二叉平衡树

【说明】博客内容选自课件内容和学堂在线邓俊辉老师《数据结构下》

1.  二叉平衡树定义

问题：

l二叉排序树的缺点是无法事先预料树的结构，随意性很大，树结构只与结点的值和插入的次序有关，有时会得到一颗很不平衡的二叉树。

l当二叉树与理想的平衡树相差越远，树的高度越高时，其运算的时间就越长。最坏的情况下，二叉树退化成单链表，其时间复杂度由O(log2n)变为O(n)。

二叉平衡树（又称AVL树）

一棵二叉平衡树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：

1。左子树和右子树都是二叉平衡树，

2。左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1。

    结点的平衡因子：

            左子树的高度减右子树的高度 。              

   

如何构造“二叉平衡树”?

构造平衡的二叉排序树的方法是：

根据初始序列，从空树开始插入新结点，插入过程中，在保持二叉排序树特性的前提下，采用平衡旋转技术，对最小不平衡子树进行调整，使其平衡。

2.  平衡旋转技术

  如果在一棵平衡的二叉搜索树中插入一个新结点，造成了不平衡。此时必须调整树的结构，使之平衡。

  平衡旋转有两类：

       单旋转 (左旋和右旋)     

双旋转 (左平衡和右平衡)

 

右单旋转：

  如果在左子树根结点的左子树上插入结点,引起不平衡，则需要进行右单旋转。

  以结点B为旋转轴，将结点A顺时针旋转。

左单旋转 :

  如果在右子树根结点的右子树上插入结点，引起不平衡，则需要进行左单旋转

  以结点C为旋转轴，让结点A逆时针旋转。

先左后右双旋转

如果在左子树根结点的右子树上插入结点，引起不平衡，则需要进行先左后右双旋转 。

先右后左双旋转

如果在右子树根结点的左子树上插入结点引起不平衡，则需要进行先右后左双旋转 。

 

3.  二叉平衡树的插入

双旋插入代码实现：

4.二叉平衡树删除

删除单旋：

删除：双旋