ZOJ 4086 Little Sub and a Game (一月月赛 F)

题意： 分别给定$n$对数字对$(A_i^x,A_i^y)$,和$m$ 对$(B_i^x,B_i^y)$。有两个人，第一个人$A$从每对$(A_i^x,A_i^y)$中选一个数字取异或和，即$A_{xor}=A_0^{x|y}\otimes A_1^{x|y}\otimes \cdots \otimes A_n^{x|y}$，另一个人$B$从每对$(B_i^x,B_i^y)$中选取一个数字取异或和，即$B_{xor}=B_0^{x|y}\otimes B_1^{x|y}\otimes \cdots \otimes B_m^{x|y}$，最后得到一个数字$ans=A_{xor}\otimes B_{xor}$。$A$希望$ans$尽可能大，$B$希望$ans$尽可能小。双方选择均为最优，ans值应该是多少。

分析： 因为所有的数字对对$A,B$都是透明的，所以$ans$值是唯一的。

1. 首先这个问题并不是一个朴素的线性基问题。我们需要通过某种转换方法之后，使得它能使用线性基解决。首先构造$A_{xor}^{{}^{\prime }}=A_0^x\otimes A_1^x\otimes \cdots \otimes A_n^x$。我们先将假设每次都取了$A_i^x$，然后通过判断是否要异或上$A_i^{{}^{\prime }}=A_i^x\otimes A_i^y$来选择是选择$A_i^x$还是$A_i^y$。如，$A_{xor}^{{}^{\prime }}\otimes A_i^{{}^{\prime }}=A_0^x\otimes \cdots \otimes A_i^y\otimes \cdots \otimes A_n^x$。那么我们可以对集合$\{A_0^{{}^{\prime }},A_1^{{}^{\prime }},\dots ,A_n^{{}^{\prime }}\}$构造线性基$\mathbf{P}\mathbf{A}=\{P{A}_0,P{A}_1,\dots ,P{A}_{63}\}$.其中，$P{A}_i$为最高位在$i$上的基。同理可以对$\{B_0^{{}^{\prime }},\dots ,B_m^{{}^{\prime }}\}$构造出线性基$\mathbf{P}\mathbf{B}=\{P{B}_0,P{B}_1,\dots ,P{B}_{63}\}$.

2. 我们首先得到一个$an{s}^{\prime }=A_{xor}^{{}^{\prime }}\otimes B_{xor}^{{}^{\prime }}$。 接下来要做的是根据$\mathbf{P}\mathbf{A},\mathbf{P}\mathbf{B}$来使得$an{s}^{\prime }$满足题目要求。因为线性基的性质，我们从高位开始判断。我们用$an{s}^{\prime }[i]$表示$an{s}^{\prime }$在第$i$位上是$0,1$。那么对于第$i$位来说，存在以下8中情况。用$(an{s}^{\prime }[i],P{A}_i,P{B}_i)$来表示。其中，如果$P{A}_i$不为0，表示$P{A}_i$能够控制当前位置上是$0$还是$1$.$P{B}_i$同理。

   • $(0,0,0)$，$P{A}_i,P{B}_i$均没有控制能力，跳过。
   • $(0,0,1)$，$P{B}_i$有控制能力，因为$B$希望$an{s}^{\prime }$越小越好，且当前$an{s}^{\prime }[i]$已经是$0$,所以$P{B}_i$不会修改这个位置上的值。
   • $(0,1,0)$，$P{A}_i$有控制能力，因为$A$希望$an{s}^{\prime }$越大越好，且当前$an{s}^{\prime }[i]$是$0$,所以$P{A}_i$会这个位置上的0变成1，即$an{s}^{\prime }=an{s}^{\prime }\otimes P{A}_i$。
   • $(0,1,1)$，均有控制能力，稍后分析。
   • $(1,0,0)$，$P{A}_i,P{B}_i$均没有控制能力，跳过。
   • $(1,0,1)$，$P{B}_i$有控制能力，因为$B$希望$an{s}^{\prime }$越小越好，且当前$an{s}^{\prime }[i]$已经是$1$,所以$P{B}_i$会修改这个位置上的值，即$an{s}^{\prime }=an{s}^{\prime }\otimes P{B}_i$。
   • $(1,1,0)$，$P{A}_i$有控制能力，因为$A$希望$an{s}^{\prime }$越大越好，且当前$an{s}^{\prime }[i]$是$1$,所以$P{A}_i$不会修改当前位置。
   • $(1,1,1)$，均有控制能力，稍后分析。

3. 除了$4,8$两种情况，其他情况均很显然。重点是如何处理$4,8$这两种情况。对于第$4$种情况，无论我们是否要将$P{A}_i$异或到$an{s}^{\prime }$上，$P{B}_i$均要采用同样的操作。所以我们可以发现，对于当前这一位我们要么异或上$P{A}_i,P{B}_i$，要么两个都不异或。我们发现这个时候$P{A}_i$实际上并没有被使用。我们把$P{A}_i$从线性基删去。然后构造一个新的变量$PA{B}_i=P{A}_i\otimes P{B}_i$，将$PA{B}_i$插入线性基$\mathbf{P}\mathbf{A}$。这样，如果选取了$PA{B}_i$,那么说明$A$将$P{A}_i$异或上$an{s}^{\prime }$，那么$P{B}_i$也要异或上，反之则均不取。

4. 第8种情况是4的特例，我们只需要先将$an{s}^{\prime }=an{s}^{\prime }\otimes P{A}_i$，那么情况$(1,1,1)$就变成了$(0,1,1)$.

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