数论——素数

判定素数

穷举法判定

bool check(int k)
{
    if(k==0||k==1)return false;
    for(int i=2;i<=sqrt(k);i++)
    if(k%i==0)
    return false;
    return true;
}

埃氏筛法

void make_primetable(int n)
{
    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
    is_prime[0]=false;
    is_prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    if(is_prime[i])
    for(int j=i*i;j<=n;j++)
    is_prime[j]=true; 
}

线性筛法

数学一本通的线性筛是错的！！看了我好久！！

埃氏筛法里面很多合数都会被重复筛选。我们为了避免这个情况出现，就有了线性筛法，线性筛法没有冗余，所以几乎是线性的算法。

#define maxn 10000005
bool is_not_prime[maxn];
int prime[maxn],num_prime;
void get_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)//从2到n
    {
        if(!is_not_prime[i])
            prime[num_prime++]=i;
            //如果i是质数，那么就把它保存在一个素数表里面。
        for(int j=0;jtrue;
            if(!(i%prime[j]))//避免重复筛选的剪枝
                break;
        }
    }
}

Miller-Rabin素数测试

数论学家利用费马小定理研究出了多种素数的测试方法。Miller-Rabin就是其中一种。
费马小定理的证明在这里。
我们先来说几个概念：
伪素数：如果 n 是一个正整数，如果存在和 n 互质的正整数 a 满足 an−1≡1(modn) ，我们说 n 是基于 a 的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数（这句话的意思是，一个随机数 a 去测试数 n ，如果通过测试了，它就是一个伪素数，是素数的可能性就很大了）
Miller-Rabin算法的本质就是反复应用这个结论，把某一个数通过测试的概率累乘，那么这个数是素数的概率就接近 100% 。
如果测试次数是 t ，如果 t 次测试全部通过，那么这个数是素数的概率是 4−t 。
时间复杂度是 t×log3n

#include
using namespace std;
inline int read()
{
    int num=0;
    char c=' ';
    bool flag=true;
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())
    if(c=='-')
    flag=false;
    for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());
    return flag ? num : -num;
}
const int times=100;//测试次数

int modular_exp(int a,int m,int n)
{
    if(m==0)return 1;
    if(m==1)return (a%n);
    long long w=modular_exp(a,m/2,n);
    w=w*w%n;
    if(m&1)w=w*a%n;
    return w;
}

bool Miller_Rabin(int n)
{
    if(n==2)return true;
    if(n==1||n==0)return false;
    for(int i=1;i<=times;i++)
    {
        int a=rand()%(n-2)+2;
        if(modular_exp(a,n-1,n)!=1)return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    int n=read();
    int m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read();
        if(Miller_Rabin(x))
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}