HDU 4027 【线段树区间开根号】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4027

这道线段树的题目我并没有按照线段树的模板写，这里把要点讲出来就行了。

第一：区间开根号不像区间乘或者除，能通过区间和然后一次性乘除求出一个区间的乘除，所以区间开根号只能一个一个的开，但是如果一个一个的开不会超时吗？ 假设一个数在long long的范围里面，也就是2^63这个范围内，那么对这个数开根号最多要开几次？ 63次。也就是说，开根号能够在很少的次数内，让一个数一直趋近于一个固定值1，这是区间开根号的一个突破口，只要知道当前这个区间的值都等于或者小于1，那就不需要对这个区间做开根号的操作了。虽然一个一个的开根号看似很费时，但是事实上是可行的，我们假设有 10^5(题目N的上限)个数，每个数都是2^63，每次都对整个区间开根号我们需要花费多少时间，因为线段树是一个把数组二叉树化的结构，所以每次访问一个数，需要log(N)的时间复杂度，有N个数，并且每个数最多开log(2^63)次，那么时间复杂度大约是 15*63*10^5；而且题目有说明，所有数的总和是不超过 2^63的，所以实际的时间复杂度还比上面说的要小很多；

所以具体的代码要怎么写？

首先需要一个记录区间最大值的数组，只要当前区间的最大值是小于或者等于1，那么就不用继续访问下面的节点了，因为1开根号仍然是1，这能为我们省下不少时间，其次是一个区间和的数组。

每次区间修改，都需要遍历到最底部的叶子节点，除非中途遇到区间最大值是小于或者等于1的就不用向下遍历了，修改叶子节点的值，并且更新最大值，和记录开根号后减少的值，在回溯的过程中更新区间最大值和区间和。

第二：这里的数据有可能出现  X > Y 的情况，所以要记得判断，这是题目的一个坑点；

下面是代码，因为我没有用线段树的模板，所以重点在上面的叙述，最近在尝试着脱离模板做题。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long ll;

const int Maxn = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

ll a[Maxn], maxn[4*Maxn], sum[4*Maxn]; // 把区间和和区间最大值设为全局，在更新区间和和区间最值得时候
int L, R;                               // 通过访问下标就能很容易的更新数组 
                                            // 2*cur, 2*cur+1, cur/2，左右节点和父节点
ll init_max(int cur, int l, int r) {
    if(l == r) {
        maxn[cur] = a[l]; return a[l];
    }
    int mid = (l+r)/2;
    maxn[cur] = max(init_max(cur*2, l, mid), init_max(cur*2+1, mid+1, r));
    return maxn[cur];
}

ll init_sum(int cur, int l, int r) {
    if(l == r) {
        sum[cur] = a[l]; return a[l];
    }
    int mid = (l+r)/2;
    sum[cur] = init_sum(cur*2, l, mid)+init_sum(cur*2+1, mid+1, r);
    return sum[cur];
}

void updata(int cur, int l, int r) { // 更新区间和的方法是记录当前节点修改后与修改前的差值，
    if (maxn[cur] <= 1) return;         // 通过 cur/2 直接修改父节点的值。
    ll tmp;
    if (l == r) {
        tmp = a[l]-(ll)sqrt(a[l]);
        sum[cur/2] -= tmp; a[l] -= tmp;
        sum[cur] = a[l]; maxn[cur] = a[l];
        return;
    }
    tmp = sum[cur];
    int mid = (r+l)/2;
    if (L <= mid) updata(cur*2, l, mid);
    if (mid+1 <= R) updata(cur*2+1, mid+1, r);
    maxn[cur] = max(maxn[cur*2], maxn[cur*2+1]); // 这里更新区间最大值和区间和可以直接通过数组下标得到
    sum[cur/2] -= (tmp-sum[cur]);
}

ll solve(int cur ,int l, int r) {
   if (L <= l && r <= R) return sum[cur];
   int mid = (r+l)/2;
   ll ret = 0;
   if (L <= mid) ret += solve(cur*2, l, mid);
   if (mid+1 <= R) ret += solve(cur*2+1, mid+1, r);
   return ret;
}

int main (void)
{
    int N, cas = 0;
    while (scanf ("%d", &N) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf ("%lld", &a[i]);
        init_max(1, 1, N); init_sum(1, 1, N); // 预先把区间的最值和区间和求出
        int M, T;
        scanf ("%d", &M);
        printf("Case #%d:\n", ++cas);
        while (M--) {
            scanf ("%d%d%d", &T, &L, &R);
            if (L > R) swap(L, R);  // HDU的坑点
            if (T) {
                printf("%lld\n", solve(1, 1, N));
            } else {
                updata(1, 1, N);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}