卡特兰数详解

介绍

这是一类组合数问题的计算方法，在省选等各大考场中身影频现。

这类组合数问题可以千变万化，各种扩展，所以，作为一名合格的OIer，是不能不学这个优秀的东西的。

柿子们

首先摆一下卡特兰数的计算公式：

递推式： $h(n+1)=\sum _{i=0}^{n}h(i)h(n-i)$

通项公式1： $h(n)=C_{2n}^n/(n+1)$

通项公式2： $h(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}$

其实通项公式 $2$ 稍稍转化就能变成通项公式 $1$，像这样：
$$\begin{array}{rl}{C}_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}& =\frac{(2n)!}{n!n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}\\ & =\frac{(2n)!(n-1)!(n+1)!-(2n)!n!n!}{n!n!(n-1)!(n+1)!}\\ & =\frac{(2n)!((n-1)!(n+1)!-n!n!)}{n!n!(n-1)!(n+1)!}\\ & =\frac{(2n)!((n+1)!-n\times n!)}{n!n!(n+1)!}\\ & =\frac{(2n)!((n+1)!-n\times n!)}{n!n!n!}/(n+1)\\ & =\frac{(2n)!((n+1)-n)}{n!n!}/(n+1)\\ & =\frac{(2n)!}{n!n!}/(n+1)\\ & =C_{2n}^n/(n+1)\end{array}$$

稍稍转化（大雾 稍微还是有那么点长的……

通项公式3： $h(n)=\frac{h(n-1)\times (4n-2)}{n+1}$

这个也是大力推一推就能变成通项公式1。
$$\begin{array}{rl}\frac{h(n-1)\times (4n-2)}{n+1}& =\frac{C_{2n-2}^{n-1}\times (4n-2)}{n(n+1)}\\ & =\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}\times \frac{(4n-2)}{n+1}\\ & =\frac{(2n-2)!\times n\times n}{(n-1)!(n-1)!\times n\times n}\times \frac{(4n-2)}{n(n+1)}\\ & =\frac{(2n-2)!\times n\times n\times 2(2n-1)}{n!n!(n+1)n}\\ & =\frac{(2n-2)!\times n\times 2n\times (2n-1)}{n!n!(n+1)n}\\ & =\frac{(2n)!}{n!n!(n+1)}\end{array}$$

时间复杂度

递推式： $O(n^2)$

通项公式1、2： $O(n)$

通项公式3： $O(n)$

特点

递推式： 做题推柿子一般用到它。（这个下面就会有体现了）

通项公式1、2： 一般在写代码的时候会选择用这个公式去求卡特兰数。

通项公式3： 可能它来到这个世界只是用来充数的。（如果有人知道这有什么用还请告诉一下qwq）

应用

应用真的是数不胜数，这里举几个十分经典的吧。

例 $1.1$

这个应该说是卡特兰数最经典的例题了。

有一个无限大的栈，现在 $1$ ~ $n$ 依次进栈，随机出栈。问有多少种出栈顺序。
比如说，$n$ 等于 $3$ 时，$1$ 进栈，$2$ 进栈，$2$ 出栈，$3$ 进栈，$3$ 出栈，$1$ 出栈，那么出栈顺序就是 $2,3,1$，这就是当 $n=3$ 时的方案之一。

我们假设 $i$ 是最后出栈的那个数。

在他前面，有 $1$ ~ $i-1$ 这些数需要完成全部进栈和全部出栈，这样 $i$ 才能压到栈底，成为最后出栈的数，那么方案数就是 $h(i-1)$。

在它后面，有 $i+1$ ~ $n$ 这些数需要完成全部进栈和全部出栈，这样当 $i$ 出栈时才能成为最后出栈的那个数，方案数为 $h(n-i+1)$。

那么答案就是 $h(n)={\sum }_{i=1}^{n}h(i-1)h(n-i)={\sum }_{i=0}^{n-1}h(i)h(n-i-1)$。

变换一下就是 $h(n+1)={\sum }_{i=0}^{n}h(i)h(n-i)$，也就是卡特兰数递推式。

这就是为什么上面说：做题推柿子一般用到它。

例 $1.2$

这个进栈问题有很多的变种，稍微列举一下。

01序列问题： 你现在有 $n$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$，用他们来组成一个长度为 $2n$ 的序列，要求这个序列的任意一个前缀中 $1$ 的数量大于等于 $0$ 的数量。

将 $1$ 看做一次进栈，$0$ 看做一次出栈，任意前缀中 $1$ 的数量大于等于 $0$ 的数量等价于不能在栈为空时进行出栈操作，那么就完全等价于上面的进出栈问题了。

多边形分割问题： 你有一个凸 $n$ 边形，你可以将这个 $n$ 边形的顶点进行连接 $n-2$ 次，将这个 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形，问有多少种分法。

不妨将节点逆时针依次编号为 $1,2,3,...$ 号。当 $1$ 号顶点向 $i$ 号节点连边时，这个 $n$ 边形被分成了一个 $i$ 边形和一个 $n-i+2$ 边形，这是两个子问题，我们设 $n$ 边形的分法为 $f[n]$，那么这两个子问题的分法就是 $f[i]$ 和 $f[n-i+2]$，乘起来就是一号节点向 $i$ 号节点连边后的方案数。那么有：
$$f[n]=\sum _{i=3}^{n-1}f[i]f[n-i+2]$$

不妨设 $g[i]=f[i+3]$，那么有：
$$g[n-3]=\sum _{i=3}^{n-1}g[i-3]g[n-i-1]$$

发现这就是一个赤裸裸的卡特兰数了。

排队问题： 现在有 $2n$ 个人，$n$ 个人手里有 $5$ 元，$n$ 个人手里有 $10$ 元，他们都要买一个 $5$ 元的东西，一开始老板没有零钱，问有多少种排队方法可以使得老板不会没钱找。

把 $5$ 元看做进栈， $10$ 元看成出栈即可。

括号问题： 你有 $n$ 对括号，即 $n$ 个左括号，$n$ 个右括号，问这些括号有多少种合理的排列方式。

把左括号看做进栈，右括号看做出栈即可。

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例 $2$

问 $n$ 个点能构成多少棵不同的二叉树。

答案也是一个原封不动的卡特兰数，虽然不能转化成进出栈问题，但是思路和进出栈问题差不多。

我们考虑枚举根节点的左子树和右子树的大小，假如左子树的大小为 $i$，那么右子树的大小就是 $n-i-1$，那么枚举一下就是 $ans(n)={\sum }_{i=0}^{n-1}ans(i)ans(n-i-1)$。

例 $3$

接下来拿一道真题来讲吧！

[AHOI2012]树屋阶梯

题目大意： 用 $n$ 个矩形搭一个 $n$ 格高的阶梯的方案数。

发现这题有一个性质，位于左下角的那个矩形的高加宽等于 $n+1$。

那么设它的高为 $x$，宽为 $y$，那么有 $y=n+1-x$。

我们发现，左下角的矩形构成了第 $x$ 级的阶梯，假如将他去掉，那么问题转变成了两个子问题：在他的左边用 $x-1$ 个矩形造一个 $x-1$ 格高的阶梯；在他的上面用 $y-1$ 个矩形造一个 $y-1$ 格高的阶梯。

写出来就是 $ans(n)={\sum }_{i=1}^{n}ans(i-1)ans(n+1-x-1)$，转化一下就是个裸的卡特兰数了。

代码详见这里。

练习

[HNOI2009]有趣的数列   题解
[TJOI2015]概率论     题解