逆元

【概念】

其实逆元的概念和倒数差不多，即：

方程  的解称为  关于模  的逆，当 （即 ， 互质）时，方程有唯一解，否则无解。

那么逆元可以用来干什么呢，比如说对于 ，并没有 ，但是直接除又会爆精度，这时我们就可以用到逆元，假设用  代表  的逆元，那么 。

 

【三种求法】

方法一：用费马小定律。

内容：当  为质数时，有 ，那么易得出 。

也就是说，此时  就是  关于模  的逆元，用快速幂就可以在 O（）的时间内求出逆元。

限制： 为质数。

代码（求 ）：

#include
#include
using namespace std;
int Quick_Power(int a,int b,int c)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		  ans=(1ll*ans*a)%c;
		a=(1ll*a*a)%c;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int a,b,p;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
	b=Quick_Power(b,p-2,p);
	printf("%d",((a%p)*(b%p))%p);
	return 0;
}

 

方法二：用扩展欧几里得算法。

按照逆元的概念，实际上就是求  的一个解，用扩欧就可以轻松解决。

时间复杂度O（）。

限制：， 互质。

代码：

#include
#include
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main()
{
	int a,b,p,x,y;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
	exgcd(b,p,x,y);
	x=(x+p)%p;
	printf("%d",((a%p)*(x%p))%p);
	return 0;
}

 

方法三：用线性筛。

就是通过递推求 1 到 n 之间所有数的逆元。

时间复杂度O（）。

由于我也不是很懂这个方法我就不多说了，就先给出板子吧。

代码：

#include
#include
#define N 1000005
using namespace std;
int inv[N];
void get_inverse(int n,int p)
{
	int i;
	inv[1]=1;
	for(i=2;i<=n;++i)
	  inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}
int main()
{
	int n,i,p;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	get_inverse(n,p);
	return 0;
}