BZOJ 4001 TJOI 2015 概率论 卡特兰数 生成函数计数

求随机有根二叉树的叶节点数的期望。

令 fi 表示有 i 个节点的二叉树的个数，显然 f0=1 ，且有递归定义

fi=∑i=0i−1fifn−i−1

令 gk=∑ki=0fifk−i
那么数列 g 的生成函数即 G(x)=F2(x)
又 fi=gi−1 ，即 F(x)=xG(x)+1
有

F(x)=xF2(x)+1

解得

F(x)=1−1−4x‾‾‾‾‾‾√2x

（丢掉的一根是为了函数收敛）

由于答案是 xn 项的系数。。
所以二项式定理展开有

F(x)=1−(1−4x)122x=1−∑∞i=0(12i)(−4x)i2x=1−∑∞i=0(12i)(−4)ixi2x=1+∑∞i=012i−1(2ii)xi2x=∑∞i=112i−1(2ii)xi−12=∑∞i=012i+1(2i+2i+1)xi2=∑i=0∞14i+2(2i+2i+1)xi=∑i=0∞14i+2(2i+1)(2i+2)(i+1)(i+1)(2ii)xi=∑i=0∞1i+1(2ii)xi

因此有 fi=1i+1(2ii)

节点数为 n 的所有二叉树的叶子种数为 hn 。
考虑左子树对答案的贡献是 hi⋅fn−i−1 ，右子树对称。
因此

hn=2∑i=0n−1hi⋅fn−i−1

初始值 h1=1 。

H(x)=2H(x)xF(x)+x

解得

H(x)=x1−4x‾‾‾‾‾‾√

类似 fi 的推导可知

hi=(2i−2i−1)

因此本题期望即

hifi=n(n+1)2(2n−1)

#include 
main(){double x;scanf("%lf",&x);printf("%.9lf",x*(x+1)/2/(2*x-1));}

听说你们压代码。。

var x:real;begin read(x);x:=x*(x+1)/2/(2*x-1);writeln(x:0:9);end.

好久没写pascal
强行手写不编译一下。
好像还要短一些。。。

至于节点数为n的二叉树的数量，可以理解为出入栈问题。
入栈往下一层走，出栈往上一层走。