算法导论（第9章-中位数和顺序统计学）最大值和最小值

n个数中同时找出最大值跟最小值：

例子：n = 7  

5  1  2  3  6  4  8

方法一：独立地找出最大值和最小值，各用n-1次比较，共有2n-2次比较。

方法二：成对地处理元素，先将一对输入元素相互比较，然后把较小者与当前最小值比较，把较大者与当前最大值比较，因此每两个元素需要比较3次。（n为奇数时，将最大值和最小值都设为第一个元素的值，然后成对地处理余下的元素，总共做了3*[n/2]次比较，[]为下界。n为偶数时，就对前两个元素做一次比较，以决定最大值和最小值的初始值，然后成对地处理余下的元素，总共做了3*(n-2)/2 + 2 = 3*n/2-2次比较，不管是哪一种情况，总的比较次数至多是3[n/2]，[]为下界）

/* ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/

证明：在最坏情况下，利用n + [lg[n]] - 2 次比较，即可找到n个元素中的第二小元素。（提示：同时找最小元素）

常规查找：先找出最小值，用了n-1次比较，再找次小值，用了n-2次比较。一共用了2n-3次比较，无法满足题目要求。

我们可以利用树的结构来完成查找：成对比较，不断取小的值，这样可以求出最小值。而在比较的过程可以生成一棵树。具体如图

例子：n = 7  

5  1  2  3  6  4  8

        找出最小值（即根节点）需要比较的次数为n-1（其实是非叶子节点的个数），然后从根节点往叶子沿着某条路径开始寻找次小值（某条路径是指孩子节点的值 = 当前节点的值 的那条路径）。因为在生成树的时候次小值一定会跟最小值比较过，所以在沿着路径走的过程中，需要比较的元素是 孩子节点值 != 根节点值 的那个节点的值，即图中红色标记的结点，个数最多为lg(n)-1个，即树的高度 - 1（减去的是根节点，不需要比较）。找出红色结点的最小值即为最终的次小值。所以总的次数达到n + [lg(n)] - 2次。

遗憾的是~

经过测试，普通查找（比较次数 = 2n-3）比利用二叉树查找（比较次数 = n + [lg(n)] - 2）快上10多倍，可能是后者操作复杂引起的时间消耗。不过后者确实是个很好的思路！

贴上代码：

/* 产生测试数据 */

#include 
#include 
#include 
#include 

int main()
{
	freopen("in.txt", "w", stdout);
	srand(unsigned(time(NULL)));
	int n = 8000000;
	int i;
	printf("%d\n", n);
	for(i = 0; i < n; i++){
		printf("%d\n", rand()%n + 10);
	}
	return 0;
}

/* 包括最坏情况以 n + lg(n) - 2 的比较次数寻找数组中的次小值*/
/* 运行环境：windows平台 */

#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 100010000
#define INF (1<<30)
#define MIN(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

typedef struct TREE
{
	int data;
	TREE *lchild, *rchild;
}Tree;

Tree *t[N];
int a[N];

bool Create(Tree *&T)
{
	T = NULL;
	T = (Tree *)malloc(sizeof(Tree));
	if(NULL == T){
		printf("Error! overflow!\n");
		return 0;
	}
	return 1;
}

bool Init(Tree *t[], int n)
{
	int i;
	Tree *T;
	for(i = 0; i < n; i++){
		if(!Create(T)) return 0;
		scanf("%d", &T->data);
		T->lchild = T->rchild = NULL;
		t[i] = T;
	}
	return 1;
}

void ShowInit(Tree *t[], int n)
{
	int i;
	for(i = 0; i < n; i++)
		printf("%d ", t[i]->data);
	printf("\n");
}

bool CreateTree(Tree *t[], int n)
{
	int len = n;
	int u, i;
	Tree *T;
	while(len > 1)
	{
		u = 0;
		for(i = 0; i + 1 < len; i += 2){
			if(!Create(T)) return 0;
			T->data = MIN(t[i]->data, t[i+1]->data);
			T->lchild = t[i];
			T->rchild = t[i+1];
			t[u++] = T;
		}
		if(len & 1) t[u++] = t[len-1];
		len = u;
	}
	return 1;
}

void ShowTree(Tree *T)
{
	if(NULL == T) return;
	printf("%d ", T->data);
	ShowTree(T->lchild);
	ShowTree(T->rchild);
}

void FindSecMin(Tree *T, const int base, int &ans)
{
	if(NULL == T->lchild && NULL == T->rchild) return;
	if(base == T->lchild->data){
		ans = MIN(ans, T->rchild->data);
		FindSecMin(T->lchild, base, ans);
	}
	else{
		ans = MIN(ans, T->lchild->data);
		FindSecMin(T->rchild, base, ans);
	}
}

int main()
{
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	int i;
	Tree *T;
	int n, min2;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
#if 0
		for(i = 0; i < n; i++)
			scanf("%d", &a[i]);
		int flag = 0;
		int min1 = INF;

	/* --------------------------------------------------- */
     	FILETIME beg,end;//里的计时器
		GetSystemTimeAsFileTime(&beg);
	/* --------------------------------------------------- */
		for(i = 0; i < n; i++){
			if(a[i] < min1){
				min1 = a[i];
				flag = i;
			}
		}
		min2 = INF;
		for(i = 0; i < n; i++){
			if(a[i] < min2 && i != flag)
				min2 = a[i];
		}
	/* --------------------------------------------------- */
		GetSystemTimeAsFileTime(&end);
		long time = 100*(end.dwLowDateTime-beg.dwLowDateTime);
	/* --------------------------------------------------- */

		printf("%d\n", time);
		if(INF == min2) printf("Error!\n"); //只有一个数据
		else printf("min2 = %d\n", min2);
#endif

#if 1
		if(!Init(t, n)) return 1;
		//ShowInit(t, n); //显示初始数据

	/* --------------------------------------------------- */
		FILETIME beg,end;//里的计时器
		GetSystemTimeAsFileTime(&beg);
	/* --------------------------------------------------- */
		CreateTree(t, n); //创建树
		min2 = INF;
		FindSecMin(t[0], t[0]->data, min2); //寻找第二小的数值
	/* --------------------------------------------------- */
		GetSystemTimeAsFileTime(&end);
		long time = 100*(end.dwLowDateTime-beg.dwLowDateTime);
	/* --------------------------------------------------- */

		printf("%d\n", time);
		if(INF == min2) printf("Error!\n"); //只有一个数据
		else printf("min2 = %d\n", min2);
#endif
	}
	return 0;
}