詹森不等式证明

詹森不等式是对凸函数的一个推导，由2推导到n

凸函数性质：f(x)的二阶导数大于0，也就是f''(x)>0，在xf(ax+(1-a)y)

证明：f(ax+(1-a)y)

ax+(1-a)y-x=(1-a)(y-x)>0

所以 x

有x

由拉格朗日中值定理有

(f(ax+(1-a)y)-f(x))/((1-a)(y-x))=f'(z1)

变形为：f(ax+(1-a)y)-f(x)=(1-a)(y-x)×f'(z1)   (1)

ax+(1-a)y-y=a(x-y)<0

y>ax+(1-a)y

有ax+(1-a)y

由拉格朗日中值定理有

f(y)-f(ax+(1-a)y)=a(y-x)f'(z2)  (2)

联立(1)(2)有

a{f(ax+(1-a)y)-f(x)}-(1-a){f(y)-f(ax+(1-a)y)}=a(1-a)(y-x)(f'(z1)-f'(z2))

因为f''(x)>0,z1

所以f'(z1)-f'(z2)<0

等式右边<0

化简左边为f(ax+(1-a)y)

得证

本人比较渣，当时学习的时候连拉格朗日中值定理都忘了，还到处去找资料，为了方便和我一样渣的小伙伴，我决定在这里把拉了朗日中值定力证明一遍

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，我们这里先证明罗尔定理

罗尔定理：（1）在闭区间【a,b】上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，（3）f(a)=f(b),则至少存在一个z∈(a,b)，使得f'(z)=0

证明：

假设M与m是【a,b】上的最大值与最小值

（1）如果m等于M那么在闭区间上是常函数，肯定存在z，使得f'(z)=0

  (2)   如果m！=M，假设z为M，则f'(M+)<=0,f'(M-)<=0,f(M)=0,所以存在f'(z)=0

拉格朗日中值定理：（1）在闭区间【a,b】上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，（3）则至少存在一个z∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(z)

证明：

联系罗尔定理，构造辅助函数

g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)

g(a)=g(b)=f(a)

由罗尔定理得

存在z,a

使g'(z)=0

g'(z)=f'(z)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

f(b)-f(a)=(b-a)*g'(z)

詹森不等式：f''(x)>0，E(f(x))>f(E(x)),如果f''(x)<0,则符号反向