损失函数softmax_cross_entropy、binary_cross_entropy、sigmoid_cross_entropy之间的区别与联系

cross_entropy-----交叉熵是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。

在介绍softmax_cross_entropy，binary_cross_entropy、sigmoid_cross_entropy之前，先来回顾一下信息量、熵、交叉熵等基本概念。

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信息论

交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

一、信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：

事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。

事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。

仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

二、什么是熵

熵

对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)

这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

二、 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]

KL散度的计算公式：

 

三、什么是交叉熵

交叉熵

对式3.1变形可以得到：

 

其中p代表label或者叫groundtruth，q代表预测值

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即

由于KL散度中的前一部分恰巧就是p的熵，p代表label或者叫groundtruth，故−H(p(x))不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了，所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

交叉熵：

 

四、softmax_cross_entropy

以tensorflow中函数softmax_cross_entropy_with_logits为例，在二分类或者类别相互排斥多分类问题，计算 logits 和 labels 之间的 softmax 交叉熵。

数据必须经过 One-Hot Encoding 编码

tf.one_hot

用 mnist 数据举例，如果是目标值是3，那么 label 就是[0，0，0，1，0，0，0，0，0，0]，除了第4个值为1，其他全为0。

该函数把一个维度上的 labels 作为一个整体判断，结果给出整个维度的损失值。

这个函数传入的 logits 是 unscaled 的，既不做 sigmoid 也不做 softmax ，因为函数实现会在内部更高效得使用 softmax 。

softmax_cross_entropy_with_logits计算过程

1、对输入进行softmax

 

softmax公式

举个例子：假设你的输入S=[1,2,3]，那么经过softmax层后就会得到[0.09,0.24,0.67]，这三个数字表示这个样本属于第1,2,3类的概率分别是0.09,0.24,0.67。

2、计算交叉熵

 

交叉熵公式

L是损失，Sj是softmax的输出向量S的第j个值，前面已经介绍过了，表示的是这个样本属于第j个类别的概率。yj前面有个求和符号，j的范围也是1到类别数T，因此label——y是一个1*T的向量，里面的T个值，而且只有1个值是1，其他T-1个值都是0。真实标签对应的位置的那个值是1，其他都是0。所以这个公式其实有一个更简单的形式：

 

来举个例子吧。假设一个5分类问题，然后一个样本I的标签y=[0,0,0,1,0]，也就是说样本I的真实标签是4，假设模型预测的结果概率（softmax的输出）p=[0.1,0.15,0.05,0.6,0.1]，可以看出这个预测是对的，那么对应的损失L=-log(0.6)，也就是当这个样本经过这样的网络参数产生这样的预测p时，它的损失是-log(0.6)。那么假设p=[0.15,0.2,0.4,0.1,0.15]，这个预测结果就很离谱了，因为真实标签是4，而你觉得这个样本是4的概率只有0.1（远不如其他概率高，如果是在测试阶段，那么模型就会预测该样本属于类别3），对应损失L=-log(0.1)。

补充：sparse_softmax_cross_entropy_with_logits

sparse_softmax_cross_entropy_with_logits 是 softmax_cross_entropy_with_logits 的易用版本，除了输入参数不同，作用和算法实现都是一样的。

区别是：softmax_cross_entropy_with_logits 要求传入的 labels 是经过 one_hot encoding 的数据，而 sparse_softmax_cross_entropy_with_logits 不需要。

 

五、binary_cross_entropy

binary_cross_entropy是二分类的交叉熵，实际是多分类softmax_cross_entropy的一种特殊情况，当多分类中，类别只有两类时，即0或者1，即为二分类，二分类也是一个逻辑回归问题，也可以套用逻辑回归的损失函数。

1、利用softmax_cross_entropy_with_logits来计算二分类的交叉熵

来举个例子，假设一个2分类问题，假如一个batch包含两个样本，那么标签要制成二维，形如

y=[ [1, 0]，[0, 1] ]，

模型预测输出也为二维，形如

p=[ [0.8,0.2]，[0.4,0.6] ]  #（softmax的输出）

那么对应的损失

L=( -log(0.8) - log(0.6) ) / 2

实际在计算中若采用softmax_cross_entropy_with_logits函数，不要事先做softmax处理。

 

2、套用逻辑回归代价损失函数来计算二分类的交叉熵

逻辑回归的损失函数如下：

来举个例子，假设一个2分类问题，假如一个batch包含两个样本，那么标签要制成一维，形如

y=[0，1 ]，

模型预测输出也为一维，形如

p=[ 0.2，0.6 ]  #sigmoid的输出，这里一定要预先用sigmod处理，将预测结果限定在0~1之间，

那么对应的损失

L=( - 0*log(0.2) - (1 - 0)*log(1- 0.2) - log(0.6) - (1 -1)*log(1 - 0.6) ) / 2 = ( -log(0.8) - log(0.6) ) / 2

 

 

六、sigmoid_cross_entropy

以tensorflow中函数sigmoid_cross_entropy_with_logits为例说明

sigmoid_cross_entropy_with_logits函数，测量每个类别独立且不相互排斥的离散分类任务中的概率。(可以执行多标签分类，其中图片可以同时包含大象和狗。)

import tensorflow as tf

_logits = [[0.5, 0.7, 0.3], [0.8, 0.2, 0.9]]

_one_labels = tf.ones_like(_logits)

# [[1 1 1]   

#  [1 1 1]]   

_zero_labels = tf.zeros_like(_logits)

# [[0 0 0]   

#  [0 0 0]]   

with tf.Session() as sess:

        loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=_logits, labels=_one_labels)

        print(sess.run(loss))

        # [[0.47407699  0.40318602  0.5543552]   

        #  [0.37110069  0.59813887  0.34115386]]   

        loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=_logits, labels=_zero_labels)

        print(sess.run(loss))

          # [[0.97407699  1.10318601  0.85435522]   

          #  [1.17110074  0.79813886  1.24115384]]

 

看看sigmoid_cross_entropy_with_logits函数定义

def sigmoid_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None,  labels=None, logits=None,  name=None):

#为了描述简洁，规定 x = logits，z = labels，那么 Logistic 损失值为：   

   z * -log(sigmoid(x)) + (1 - z) * -log(1 - sigmoid(x))

      = z * -log(1 / (1 + exp(-x))) + (1 - z) * -log(exp(-x) / (1 + exp(-x)))

      = z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (-log(exp(-x)) + log(1 + exp(-x)))

      = z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (x + log(1 + exp(-x))

      = (1 - z) * x + log(1 + exp(-x))

      = x - x * z + log(1 + exp(-x))

该函数与 softmax_cross_entropy_with_logits的区别在于：softmax_cross_entropy_with_logits中的labels 中每一维只能包含一个 1，而sigmoid_cross_entropy_with_logits中的labels 中每一维可以包含多个 1。

softmax_cross_entropy_with_logits函数把一个维度上的 labels 作为一个整体判断，结果给出整个维度的损失值，而 sigmoid_cross_entropy_with_logits 是每一个元素都有一个损失值，都是一个二分类（binary_cross_entropy）问题。

 

参考：https://www.cnblogs.com/guqiangjs/p/8202899.html