求解微分方程

当年已经学过了，可是忘光了。从知乎上找到了一个课程，可是和之前老师讲的不一样，在这里说明一下。

求解微分方程，是解一个含有微分的方程。因为含有微分，它和一般的方程可不一样，求解的结果里会具有一个常数$C$。若想要去掉这个常数$C$，需要附加条件。这个附加条件表现为：

$$\begin{gathered} y^{\prime }(x_1)=e_1, \\ y(x_2)=e_2 \end{gathered}$$

假若$x_1=x_2$，称这个附加条件下的问题为初值问题。反之，则称为条件值问题。一般遇见的都是初值问题。

在微分形式以及它的变种中，初值条件仅仅为:

$$y(x_0)=y_0$$

要解决初值问题，本质上不需要寻找额外的方法。只要完成了求解，再代入初值即可解决初值问题。当然，或许存在额外的解法。

大抵来说，这个教程的内容是：将微分方程分为几类，在这之后，每一类都有自己的独特解法。

微分方程的分类与计算

1. 标准形式

$$y^{\prime }=f(x,y)$$

当然，这只是一个范例。如果标准形式也存在着解法，我们就没有必要去讨论不同形式下的解法了。

2. 微分形式

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \\ \Rightarrow M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \end{gathered}$$

同上标准形式，这只是一个范例。

3. 可分离变量的形式

$$M(x)dx+N(y)dy=0$$
直接进行积分，即可求解。这是求解最简单的一个形式。

$$\int M(x)dx+\int N(y)dy=\int 0=C$$

当然，它存在着求解初值问题的额外方法：

$$\begin{gathered} 假设初值条件： \\ {y}^{\prime }(x_0)=y_0, \\ 那么，可以求解以：{\int }_{x_0}^{x}M(x)+{\int }_{y_0}^{y}N(y)=0 \end{gathered}$$

4. 齐次方程

$$对于y^{\prime }=f(x,y),有:f(tx,ty)=f(x,y)$$

假设一个齐次方程:

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$
由于不是一个可分离变量的方程，显然不能够直接求解。
由于y是x的函数$(y=y(x))$，显然这个形式可以变化。比如，$y=x\cdot y(x)$，不过这样会在符号的使用上引发问题，所以改写为$y=x\cdot v(x)$。
为什么要改写？因为是齐次方程，$f(tx,ty)=f(x,y)$，如果$y=x\cdot v(x)$，那么有:
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=f(x,y) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=f(x,xv)=f(1,v)=f(v) \\ 又\because \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\Rightarrow v+x\frac{dv}{dx}=f(v),x\frac{dv}{dx}=f(v)-v=g(v),\frac{dv}{dx}=\frac{g(v)}{x} \end{gathered}$$

最后会变化为可分离变量的形式。

5. 恰当方程

$$对于M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,有:\exists F(x,y),使得:\{\begin{array}{l}\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y)\end{array}$$

$$\therefore M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\Rightarrow dF(x,y)=0$$

首先，我们有着一个确认恰当方程的方法。如下:

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$

如果符合上式，那么这就是一个恰当方程。

接下来，我们就可以根据下式确定$F(x,y)$

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y)\end{array}$$

确定后，原式可以变化为:

$$dF(x)=0,\int dF(x)=\int 0=0,\therefore F(x)=C(C为任意常数)$$

这样就直接得到了对应的隐式解。从这个隐式解，或许可以得到显式解。

额外的情况，即使原方程不是恰当方程，可以将其变化为恰当方程。具体方式为:

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\Rightarrow I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0$$

在一些情况下，我们可以通过一些固定的方式来寻找这个$I(x,y)$，如下:

假若有：

$$(\frac{\partial M}{dy}-\frac{\partial N}{dx})=N\cdot g(x)orM\cdot h(y)$$

那么有：

$$I(x,y)=e^{\int g(x)dxor-\int h(y)dy}$$

假若有：

$$\{\begin{array}{l}M(x,y)=yf(x,y)\\ N(x,y)=xg(x,y)\end{array}$$

那么有：

$$I(x,y)=\frac{1}{xM-yN}$$

6. 线性方程

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

所有的线性方程，都可以变化为恰当方程，且为：

$$(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial }x)=N\cdot g(x)$$

7. 伯努利方程

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$$

$令z=y^{1-n}$,即可转化为线性方程。