【机器学习】K近邻法（KNN）与kd树原理详解

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1. KNN概述

  k近邻法（K-Nearest neighbor，kNN）是一种常用的监督学习方法，其工作机制为：给定测试样本，基于某种距离度量找出训练集中与其最靠近的k个训练样本，然后基于这k个“邻居”的信息来进行预测。通常，在分类任务中使用投票法计算最终预测结果，在回归任务中使用平均法，还可基于距离远近进行加权平均或加权投票。

  kNN是懒惰学习（lazy learning）的典型代表，不具有显式的学习过程。懒惰学习技术在训练阶段仅仅将样本保存起来，训练开销为0，等收到测试样本时再进行处理，相应的，那些在训练阶段就对样本进行学习处理的方法，称为“急切学习（eager learning）”。

2. K近邻模型三要素

  kNN使用的模型实际上对应于对特征空间的划分。kNN模型由三个及基本要素组成：

1. 距离度量；
2. k值的选择；
3. 决策规则。

2.1 距离度量

  kNN中使用的距离度量可以是欧式距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离或者一般的闵可夫斯基距离。具体定义可参见上一篇博客【机器学习】LP距离、欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。

2.2 k值选择

  如果k值较小，则训练误差减少，只有与输入实例相似的训练实例才会对于预测结果起作用，但泛化误差提高了，预测结果会对近邻实例点非常敏感。k值较小意味着模型变得复杂，容易发生过拟合。

  如果k值较大，可以减少泛化误差，但训练误差会增加，这时与输入实例相差较远的训练实例也会对预测结果起作用。k值较大意味着模型变得简单，容易发生欠拟合。

  当$k=1$时，k近邻算法就是最近邻算法。k值一般采用交叉验证法选取最优值。

2.3 决策规则

   通常，在分类任务中使用投票法计算最终预测结果，在回归任务中使用平均法，还可基于距离远近进行加权平均或加权投票。

3. KNN算法描述

   下面以分类任务为例，介绍KNN算法，回归任务与此类似，区别不大。

   输入：训练数据集$D={\left\{\left(x_i,y_i\right)\right\}}_{i=1}^m$，其中，$x_i\in \mathcal{X}\subseteq {\mathbf{R}}^n$，$y_i\in \mathcal{Y}=\left\{c_1,c_2,\cdots ,c_K\right\}$是实例的类别。

   过程：

      （1）根据给定的距离度量，在训练集$D$中找出与$x$最邻近的$k$个点，涵盖着$k$个点的领域记为$N_k(x)$；

      （2）在$N_k(x)$中根据分类决策规则决定$x$的类别$y$：
$$y=\arg \underset{c_j}{\max }\sum _{x_i\in N_k(x)}I\left(y_i=c_j\right),i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,K$$
   输出：测试样本$x$所属的类别$y$。

4. KNN实现之kd树

  KNN最简单的实现方法是线性扫描，这是一种暴力实现方法，然而当训练集很大时，搜索k个最近邻居的计算非常耗时。

  在实现kNN时，主要考虑的问题就是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。这样的方法有kd树和球树，本文只讨论kd树，如对球树感兴趣，可参见参考文献2。

  kd树使用了特殊的结构存储训练数据，减少计算目标值与训练实例的距离的次数。

  kd树算法包括两个主要步骤：

1. 构造kd树；
2. 搜索最近邻；

  下面介绍kd树算法的原理，可结合参考文献3的案例来理解。

4.1 构造kd树

  kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储，以便对其进行快速检索的二叉树结构。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域，kd树的每个结点对应一个k维超矩形区域。如图1所示：

特征空间划分

  构造平衡kd树的算法如下：

   输入：$k$维空间训练数据集$D=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_m\right\}$，其中，$x_i={\left(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(k)}\right)}^{\mathrm{T}},i=1,2,\cdots ,m$；

   过程：

      （1）构建根结点，根结点对应于包含所有实例点的k维空间的超矩形区域，并置根结点的$l=1$；

      （2）选择$x^{(l)}$为坐标轴，以$D$中所有实例的$x^{(l)}$坐标的中位数为切分点，得到通过切分点并与坐标轴$x^{(l)}$垂直的超平面，将该结点对应的超矩形区域划分为两个子区域，对应生成左右子结点，左子结点对应坐标$x^{(l)}$小于切分点的区域，右子结点对应坐标$x^{(l)}$大于切分点的区域，并将落在切分超平面上的实例点保存在该结点；

     （3）对深度为$j$的节点，令$l=j(modk)+1$，即依次取特征作为切分坐标轴。重复（2）(3），直到两个子区域没有实例存在时停止（这意味着最后所有训练实例都对应一个叶结点或内部结点），从而形成kd树的区域划分。

   输出：kd树。

  标准kNN算法的切分特征选择是按顺序的，后来对kd树的一个重大改进是选择方差最大的特征，方差越大，不同实例点区分越明显，更方便进行划分。

4.2 搜索最近邻

   给定一个目标点，首先找到包含目标点的叶结点，该叶结点对应包含目标点的最小超矩形区域。以此叶结点的实例点作为当前最近点，以目标点为中心，并通过当前最近点，可以得到一个超球体，目标点的最近邻一定是在该超球体内部。然后返回当前结点的父结点，如果父结点的另一子结点的超矩形区域与超球体相交，那么在相交的区域内寻找与目标点更近的实例点，如果存在这样的点，将此点作为新的当前最近点；否则不查找另一子结点的超矩形区域。之后，算法转到更上一级的父结点，继续上述过程。如图2所示：

通过kd树搜索最近邻

  kd树最近邻搜索算法如下：

  输入：已构造的kd树；目标点$x$；

  过程：

    （1）在kd树中找到包含目标点$x$的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树，直到叶结点为止；

    （2）以此叶结点为“当前最近点”，把目标点与此叶结点的实例之间的距离记为“当前最近距离”；

    （3）递归地向上回退，对每个父结点：

      （a）如果该父结点保存的实例点与目标点的距离比当前最近距离更近，则以该实例点为“当前最近点”，以该距离为“当前最近距离”；

      （b）检查该父结点的另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以“当前最近距离”为半径的超球体相交。如果相交，则递归地对该父结点的另一子结点进行最近邻搜索；如果不相交，则向上回退。

    （4）当回退到根结点时，搜索结束。最后的“当前最近点”就是$x$的最近邻点。

  该算法针对最近邻，k近邻在搜索最近邻的基础上，忽略之前找到的最近邻实例，重新选择最近邻，重复k次，得到目标点的k个最近邻。

5. KNN优缺点

  优点：

     1. 结构简单；

     2. 无数据输入假定，准确度高，对异常点不敏感。

  缺点：

     1. 计算复杂度高、空间复杂度高；

     2. 样本不平衡时，对稀有类别预测准确度低；

     3. 使用懒惰学习，预测速度慢。

参考文献：

1. 《统计学习方法》第三章k近邻法——李航
2. K近邻法(KNN)原理小结
3. KD树