树和二叉树
树和二叉树
- 树的定义和基本术语
- 二叉树的定义
- 二叉树的性质
- 线索二叉树
- 森林与二叉树的转换
- 哈夫曼树的基本概念
- 构造哈夫曼树口诀
树的定义和基本术语
树（Tree） 是 n (n >= 0)个结点的有限集。
在任意一颗非空树中：
1. 有且仅有一个 根（root） 结点
2. 当 n > 1 时，其余结点可分为 m（m > 0）个互不相交的有限集T1、T2，… ，Tm，其中每一个集合本身又是一颗树，并且称为根的 子树（SubTree）。
树的 结点 包含一个数据元素及或干个指向子树的分支。
根结点：非空树中无前驱结点的结点。
结点的度：结点拥有的子树数。
度为 0 的结点称为 叶子（Leaf）或 终端结点。
结点的子树的根称为该结点的 孩子，该结点称为孩子的 双亲。
树的度：树内各结点的度的最大值。
树的深度：树中结点的最大层次。
有序树：树中结点的各子树从左至右有次序（最左边的为第一个孩子）。
无序树：树中结点的各子树无次序。
森林：是 m（m >= 0）棵互不相交的树的集合。
- 把根结点删除，树就变成了森林。
- 一棵树可以看成是一个特殊的森林。
- 给森林中的各子树加上一个双亲结点，森林就变成了树。
树 一定是 森林
森林 不一定是 树
二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是 n (n >= 0)个结点的有限集，它或者是空集 (n= 0),或者由一个根结点 及 两棵互不相交 的分别称作这个根的 左子树 和 右子树 的二叉树组成。
特点：
- 每个结点最多有俩孩子（二叉树中不存在度大于 2 的结点）。
- 子树有左右之分，其次序不能颠倒。
- 二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。
注：虽然二叉树与树概念不同，但有关树的基本术语对二叉树都适用。
二叉树的性质
性质1：在二叉树的第 i 层上 至多 有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点（ i > = 1 i >= 1 i>=1）。
性质2：深度为 k 的二叉树 至多 有 2 k − 1 2^k-1 2k−1 个结点（ k > = 1 k >= 1 k>=1）。
性质3：对任何一颗二叉树 T，如果其叶子树为 n 0 n_0 n0，度为 2 的结点数为 n 2 n_2 n2，则 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1
小扩展：
- 在二叉树的第 i 层上 至少 有 1 个结点（ i > = 1 i >= 1 i>=1）。
- 深度为 k 的二叉树 至少 有 k 个结点（ k > = 1 k >= 1 k>=1）。
满二叉树：一棵深度为 k 且有 2 k − 1 2^k - 1 2k−1 个结点的二叉树称为 满二叉树
- 满二叉树在同样深度的二叉树中 结点 个数最多。
- 满二叉树在同样深度的二叉树中 叶子结点 个数最多。
完全二叉树：深度为k的具有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的 满二叉树中编号 为1 ~ n的结点一一对应时， 称之为完全二叉树。
满二叉树 一定是 完全二叉树
完全二叉树 不一定是 满二叉树
注：在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续 去掉 任意 个结点，即是一棵完全二叉树。（一定是连续的去掉！！！）
性质4： 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \lfloor{log2^n}\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1
性质5：如果对一棵有 n 个结点的 完全二叉树（深度为 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \lfloor{log2^n}\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1的结点按层序编号（从第1层到第 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \lfloor{log2^n}\rfloor + 1 ⌊log2n⌋+1 层，每层从左到右），则对任一结点 i（1 <= i <= n）,有:
-
如果 i = 1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i >1，则其 双亲是结点 ⌊ i / 2 ⌋ \lfloor{i/2}\rfloor ⌊i/2⌋。
-
如果 2i > n，则结点 i 为叶子结点，无左孩子；否则，其 左孩子是结点 2i。
-
如果 2i + 1 > n，则结点 i 无右孩子；否则，其右孩子是结点 2i + 1。
性质4：表明了完全二叉树 结点数n 与完全二叉树 深度k 之间的关系 。
性质5：表明了完全二叉树中 双亲结点编号 与 孩子结点编号 之间的关系。
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针域:
- 如果某个结点的 左孩子为空，则将空的左孩子指针域改为 指向其前驱
- 如果某结点的 右孩子为空，则将空的右孩子指针域改为 指向其后继
- 这种改变指向的指针称为 "线索”
- 加上了线索的二叉树称为 线索二叉树(Threaded Binary Tree)
- 对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫 线索化
森林与二叉树的转换
树变二叉树：兄弟相连留长子
二叉树变树：左孩右右连双亲，去掉原来右孩线
森林变二叉树：树变二叉跟相连
二叉树变森林：去掉全部右孩线，孤立二叉再还原
哈夫曼树的基本概念
路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径。
结点的路径长度：两个结点间路径上的 分支数。
树的路径长度：从 树根 到每个结点的 路径长度之和。记住：TL
结点数目相同的二叉树中，完全二叉树是路径长度最短的二叉树。
权(weight)：将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该 结点的权。
结点的带权路径长度：从 根结点 到该结点之间的 路径长度 与该结点的 权 的 乘积。
树的带权路径长度：树中所有 叶子 结点的 带权路径长度之和。
哈夫曼树：最优树（带权路径长度（WPL）最短的树）。
“带权路径长度最短”是在“度相同” 的树中比较而得的结果，因此有最优二叉树、最优三叉树之称等等
哈夫曼树：最优二叉树（带权路径长度（WPL）最短的二叉树）。
构造哈夫曼树口诀
1. 构造森林全是根
2. 选用两小造新树
3. 删除两小添新人
4. 重复 2、3 剩单根
包含 n 棵树的森林要经过 n - 1次合并才能形成哈夫曼树，共产生 n - 1 个新结点。
包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有 2n - 1 个结点。
哈夫曼树的结点的度为 0 或 2，没有度为 1 的结点。