Minimax算法

Minimax算法被广泛应用在棋类游戏中，是一种找出失败的最大可能性中的最小值的算法（Wikipedia）。

博弈树（game tree）

以“tic tac toe”游戏为例。从当前状态或初始状态开始，根据可以采取的行动（actions）和可以到达的状态（s），绘制子节点，再对子节点绘制子节点。直到游戏结束的状态。如下图这种树称为game tree。

Minimax算法

先从一个简单的场景入手，介绍Minimax的思想。

假设有一个游戏，只有两个玩家参与，两轮便定出胜负。我们称两个玩家为MAX和MIN。每个玩家在各自的回合中，都有2个到1个行动（actions）可选。MAX先手。下图中，圆形表示MAX的回合，方形表示MIN的回合，每条连线表示当前状态下可以采取的行动。因为假设游戏只有两轮，所以游戏进行到图中标号为4的层时，游戏的胜负就已经知道了，我们可以评估该层各个状态的效用值（utility），来表示玩家MAX的胜负多少，对于这一层的结果，MIN和MAX双方都是知道的。

假设现在我们就是MAX，我们的对手就是MIN。MIN为了赢得游戏，一定会想办法让MAX的得分最低。游戏双方都会从游戏的结果开始回溯，来指导相应的状态下，自己该采取何种行动来最大化自己的目标。

假设现在处在标号为3的层，是MIN的回合。MIN在所有可选的actions中，一定会选择使得MAX的得分最少的行动。所以将子节点较小的效用值填写到第3层中，表示游戏进行到相应的状态，MAX能达到的最大效用。

接着回溯到第2层，这层是MAX的回合，MAX知道了第3层各种状态下自己的效用值，MAX当然会选择使自己效用最大的行动。所以选取子节点效用最大的填入第2层。

接着回溯第1层，是MIN的回合，与第3层同理。

最后回溯到第0层，MAX的回合，与第2层同理。

MAX从游戏结束的状态开始回溯，知道了自己能够达到的最大效用是-7。

上述过程就是Minimax算法的主要流程。

多玩家场景

前面考虑的都是只有两个玩家参与的场景。如果是多玩家场景，可以将单个的效用值扩展到向量的形式。

总结

算法的实现可以通过递归的方式，从当前状态开始搜索，一直到游戏结束，然后回溯。但是当游戏的状态和可采取的步骤变多，game tree的深度变深时，博弈树的节点数量就会指数爆炸。所以根据minimax搜索整棵树的行为，对大多数游戏是不现实的。但是Minimax的思想是其他算法的基础。