最大子序列和的线性时间解法

问题描述：给定整数A1，A2,...An(可能有负数)。求 的最大值。（如果所有的整数都是负数，则最大子序列和为0。）

程序代码：

int maxSubSum(const vector&a)
{
	int maxSum = 0;
	int thisSum = 0;
	for(int i = 0;i < a.size();i++)
	{
		thisSum += a[i];//新读取一个数
		if(thisSum > maxSum)//这次的结果比最大序列还大
		{
			maxSum = thisSum;
		}
		if(thisSum < 0)//推进i
		{
			thisSum = 0;
		}
	}
	return maxSum;
}

解释：

1.最大子序列的第一个元素不会是负的。即，如果a[i]是负的，那么它不可能是最大子序列的起点。因为任何用a[i]开头的序列，此时都不如用a[i+1]开头的序列和大。

2.同理，任何负的子序列都不可能是最优子序列的前缀。即，如果我们在内循环中检测到a[i]到a[j]的和是负的，那么我们可以推进i，关键的结论是我们不光可以推进到i+1，实际上我们可以直接推进到j+1。说明：令p是i+1到j之间的任何一个下标，因为j下标是第一个使从a[i]开始的序列变负的下标，所以，从a[i]到a[p]的序列和为正数。也就是说任何从p开始的子序列，都不如这个序列再加上a[i]到a[p-1]这个序列的和大。所以我们可以直接推进到j+1。

通过这个例子我们可以发现，许多聪明的算法，运行时间是明显的，本例是O(N)，但是正确性不是那么明显。