数值分析 第二章 解线性方程组的直接方法

解方程组方法

对于线性方程组

y=Ax+b

常有如下几种求解方法。其中， A 为系数矩阵， x 为解向量。

直接三角分解法（Dolittle分解法）

1. 前提：系数矩阵 A 的各阶顺序主子式不为0.
2. 公式：以下 L 表示单位下三角矩阵， U 表示一个上三角矩阵。
   
   A=LU,Ly=b,Ux=y

平方根法（Cholesky分解法）

1. 前提：系数矩阵 A 为对称正定矩阵.
2. 公式：以下 G 表示下三角矩阵。
   
   A=GGT,Gy=b,GTx=y

追赶法（Crout分解法）

1. 前提：系数矩阵 A 的各阶顺序主子式不为0.
2. 公式：以下 T 表示下三角矩阵， M 表示一个单位上三角矩阵。
   
   A=TM,Ty=b,Mx=y

范数

概念

范数是一种对向量和矩阵的“大小”的度量尺度。

向量范数

定义2.1 向量范数

设 ∥⋅∥ 是向量空间 Rn 上的实值函数，且满足以下条件：
1. 非负性：对任何向量 x∈Rn ,

∥x∥⩾0,∥x∥=0⇔x=0

2. 齐次性：对任何实数 α 和向量 x∈Rn ,

∥αx∥=|α|∥x∥

3. 三角不等式：对任何向量 x,y∈Rn ,

∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥

则称 ∥⋅∥ 是向量空间 Rn 上的范数， ∥x∥ 为 向量 x 的范数。

常用的向量范数

向量1-范数：∥x∥1=∑i=1n|xi|

向量2-范数：∥x∥2=∑i=1nx2i−−−−−√

向量∞ -范数：∥x∥∞=max1⩽i⩽n|xi|

矩阵范数

矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种量度。

定义2.2 矩阵范数

设 ∥⋅∥ 是以 n 阶矩阵为自变量的实值函数，且满足以下条件：
1. 非负性

∥A∥⩾0,且∥A∥=0⇔A=0

2. 齐次性

∥αA∥=|α|∥A∥,α∈R

3. 三角不等式

和：∥A+B∥⩽∥A∥+∥B∥

积：∥AB∥⩽∥A∥∥B∥

则称 ∥A∥ 为 矩阵 A 的范数。

常用的向量范数

设 n 阶矩阵 A=(aij) ，常用的矩阵范数有：

矩阵1-范数（列范数）：∥A∥1=max1⩽j⩽n∑i=1n∣∣aij∣∣

矩阵2-范数（谱范数）：∥A∥2=maxλ(ATA)−−−−−−−−−−√

矩阵∞-范数（行范数）：∥A∥∞=max1⩽i⩽n∑j=1n∣∣aij∣∣

谱半径

定义2.3 谱半径

设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值分别为 λ1,λ2,...λn. 称

ρ(A)=max1⩽i⩽n|λi|

为矩阵 A 的 谱半径。

性质

ρ(A)⩽∥A∥

条件数

概念

由原始数据误差所引起的方程组解的相对误差是否可控制，取决于量 ∥A∥∥∥A−1∥∥ 的大小，若其值很大，原始数据的误差对解的影响就可能很大；若它较小，这种影响也就较小.这个量被称为方程组 Ax=b 或矩阵 A 的条件数。记为

Cond(A)=∥A∥∥∥A−1∥∥

.通常称条件数过大的方程组为 病态方程组，相应的系数矩阵称为 病态矩阵。常用的条件数有

Condp(A)=∥A∥p∥∥A−1∥∥p,p=1,2,∞

当 A 为对称矩阵时，有

Cond2(A)=|λ1||λn|,λ1和λn分别为A按模最大和最小的特征值