数值分析 第二章 解线性方程组的直接方法

解方程组方法

对于线性方程组

y=Ax+b
常有如下几种求解方法。其中, A 为系数矩阵, x 为解向量。

直接三角分解法(Dolittle分解法)

  1. 前提:系数矩阵 A 的各阶顺序主子式不为0.
  2. 公式:以下 L 表示单位下三角矩阵, U 表示一个上三角矩阵。
    A=LU,Ly=b,Ux=y

平方根法(Cholesky分解法)

  1. 前提:系数矩阵 A 为对称正定矩阵.
  2. 公式:以下 G 表示下三角矩阵。
    A=GGT,Gy=b,GTx=y

追赶法(Crout分解法)

  1. 前提:系数矩阵 A 的各阶顺序主子式不为0.
  2. 公式:以下 T 表示下三角矩阵, M 表示一个单位上三角矩阵。
    A=TM,Ty=b,Mx=y

范数

概念

范数是一种对向量和矩阵的“大小”的度量尺度。

向量范数

定义2.1 向量范数

是向量空间 Rn 上的实值函数,且满足以下条件:
1. 非负性:对任何向量 xRn ,

x0,x=0x=0

2. 齐次性:对任何实数 α 和向量 xRn ,
αx=|α|x

3. 三角不等式:对任何向量 x,yRn ,
x+yx+y

则称 是向量空间 Rn 上的范数, x 向量 x 的范数

常用的向量范数

1-x1=i=1n|xi|

2-x2=i=1nx2i

 -x=max1in|xi|

矩阵范数

矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种量度。

定义2.2 矩阵范数

是以 n 阶矩阵为自变量的实值函数,且满足以下条件:
1. 非负性

A0,A=0A=0

2. 齐次性
αA=|α|A,αR

3. 三角不等式
A+BA+B

ABAB

则称 A 矩阵 A 的范数

常用的向量范数

n 阶矩阵 A=(aij) ,常用的矩阵范数有:

1-A1=max1jni=1naij

2-A2=maxλ(ATA)

-A=max1inj=1naij

谱半径

定义2.3 谱半径

n 阶矩阵 A n 个特征值分别为 λ1,λ2,...λn.

ρ(A)=max1in|λi|

为矩阵 A 谱半径

性质

ρ(A)A

条件数

概念

由原始数据误差所引起的方程组解的相对误差是否可控制,取决于量 AA1 的大小,若其值很大,原始数据的误差对解的影响就可能很大;若它较小,这种影响也就较小.这个量被称为方程组 Ax=b 或矩阵 A 条件数。记为

Cond(A)=AA1
.通常称条件数过大的方程组为 病态方程组,相应的系数矩阵称为 病态矩阵。常用的条件数有
Condp(A)=ApA1p,p=1,2,
A 为对称矩阵时,有
Cond2(A)=|λ1||λn|,λ1λnA

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