有向图最小环问题

突然想起来一个问题…

此处仅提供求有向图最小环思路及算法（非AC算法）

正解请移步 题解

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洛谷 P2661 信息传递

题目描述

有 n 个同学（编号为 1 到 n ）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为 T_i 的同学。

游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息， 但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自 己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮？

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一个同学从别人口中得到自己的信息，就是说他的信息打了个转之后回到他那里
只要有一个同学得到自己信息游戏就结束，也就是求那个打的转最小的信息传播过的人数

emmmm语文不是很好啊
总之题目简化为有向图最小环问题

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floyd算法

原谅我图论不好什么都floyd…

先上代码

#include 
#include 
#define INF 200001
//开过 0x7fffffff和 0x3f3f3f3f之后 一怒之下... 
//用 0x7fffffff或 0x3f3f3f3f的话一定要开long long 
using namespace std;
const int N=5005;
int n;
int ans;
int dis[N][N],g[N][N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			if(i==j)
				dis[i][j]=g[i][j]=0;
			else
				dis[i][j]=dis[j][i]=g[i][j]=g[j][i]=INF;
		}
	}
	int x;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&x);
		dis[i][x]=g[i][x]=1;
	}
	ans=INF;
	for(int k=1;k<=n;++k)
	{
		for(int i=1;i

是不是跟无向图的很像qwq 最开始就是当无向图交了
不同主要是两点

• 输入时的初始化（有向图嘛 不讲了）

• dis[i][j]VSdis[j][i]

  我们假设i–>k–>j–>某条乱七八糟不经过k的路径–>i构成了一个环
  dis[j][i]代表j–>某条乱七八糟不经过k的路径–>i的距离
  g[i][k]+g[k][j]代表i–>k–>j的距离
  加起来就是上述环的长度

  那么dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j])呢
  i–>另一条乱七八糟不经过k的路径–>j的距离加i–>k–>j的距离
  ？？？
  我就问下谁家环有一部分是倒着的

  这就是有向环和无向环的区别 \(≧▽≦)/

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拓扑排序

拓扑排序是一种神奇的算法

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前

…我也感觉很抽象

• 可以这样理解一个DAG
  一开始只有一个点，我们不断地加点和以它为起点的边，就形成了一个图（怎么跟建树有点像…）

  拓扑排序是反过来，把后加上的边和点一个个删除，按照点的删除顺序排成的点的序列，就是拓扑序

• 那么怎么判断点的先后呢
  我们把入度为0的点看作最后加入的点

  因为加入一个点时，以它为起点的边只能指向在它之前加入的点，换句话说，一条边的终点一定是比起点先加入的
  那么刚加入的点，没有边指向它，它的入度一定为0

• 拓扑排序的过程
  我们每次找到入度为0的点，删除它和以它为起点的边
  再重复这个过程，直到图空
  有没有很像bfs？

  另外，如果我们每次遍历整个图，查找入度为0的点，明显太费时了
  比较巧妙的方法是，删边同时记录下哪些点入度变为了0
  因为除第一次外，点的入度变为0一定是删边导致的，可以保证这样不会漏点

• 一个DAG的形成过程一定是满足上述过程的，可以证明一个DAG经过拓扑排序后一定为空

• 拓扑序的不确定性

  想象一下有一个点第一轮就加入了，然鹅没有点愿意和它玩，到最后它的入度还是为0，于是第一轮就被删掉了

  所以说入度为0的点只能看作最后加入的点

  其实这个点不仅入度为0，出度也为0
  仔细想想，这样的点不论哪一轮加入，对这个图都没有影响
  题目不告诉我们它是什么时候加入的，我们就永远不知道
  既然题目没有规定，我们说它是最后一轮加入的又有什么关系呢

  此外，我们是一个一个拓展的，可是一轮可能加入多个点，拓展的顺序不同也会导致拓扑序不同

说了这么多，拓扑排序跟最小环有什么关系呢

首先要明白拓扑排序删不了环
手动画一画就能发现，环是无法像DAG那样一个一个加入点的
环上的点出度入度都是没办法减到0的¹

一个普通的有向图，可以看成若干个DAG和若干个环缠在一起
我们用拓扑把DAG都删掉，剩下的就全是环了qwq

本来应该用邻接表的，这里数据有点奇特而且每个点只出一条边，那就随意啦

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N=200005;
int n;
int ans;
int in[N],out[N],a[N],q[N];
int vis[N];
inline int read()
{
    char c;
    int x=0,f=1;
    do{
        c=getchar();
        if(c=='-')
            f=-1;
    }while(c<'0' || c>'9');
    do{
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }while(c>='0' && c<='9');
    return f*x;
}
inline void dfs(int x,int l)
{
    if(l>=ans)
        return ;
    if(vis[a[x]])
        ans=l;
    vis[x]=1;
    dfs(a[x],l+1);
    vis[x]=0;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
        out[i]++;
        in[a[i]]++;
    }
    int h=0,t=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(!in[i])
            q[++t]=i;
    }
    do{
        h++;
        in[a[q[h]]]--;
        if(!in[a[q[h]]])
            q[++t]=a[q[h]];	
    }while(h

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1. 这也可以解释为什么拓扑排序只适用于DAG
   为什么要无环已经解释了
   要有向是因为，无向图中有边相连的两点就能构成环 ↩︎