快速幂矩阵快速幂学习笔记

以前对于快速幂弄了个大概明白，结果今天写题又忘记了，现在写个笔记，巩固一下，

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　 11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸ 

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。                                                                                             

 

 

 

　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>>    

 

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

 

>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	int a,b;
	ll sum = 1;
	cin>>a>>b;
	int tmp = a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		sum *= tmp;
		
		tmp *= tmp;
		
		b >>= 1;
	}
	cout<





下面是矩阵快速幂，实质就是换成了矩阵运算（摘自 

wust_wenhao  博主 ）

基础知识：(会基础的直接看应用部分)

(1)矩阵乘法

简单的说矩阵就是二维数组，数存在里面，矩阵乘法的规则:A*B=C

其中c[i][j]为A的第i行与B的第j列对应乘积的和，即:

代码:

 const int N=100;
 int c[N][N];
 void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
 {
     memset(c,0,sizeof c);
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++)
         for(int k=1;k<=n;k++)
         c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
 }

另一种写法:

 int c[N][N];
 void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
 {
     memset(c,0,sizeof c);
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int k=1;k<=n;k++)
         for(int j=1;j<=n;j++)
         c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
 }

这种可以在第二重for判断if(a[i][k]==0)continue;对于矩阵有较多0的有一定效果。不过一般第一种写法就够了，这种知道就行。

显然矩阵乘法的复杂度是O(n^3);（O(n^2.7)的方法不会写，无视这里）。

这里我直接写的是n*n的矩阵(即方阵)，显然两个相乘是要一行和一列对应乘，那么矩阵乘法是需要A的行数与B的列数相等的(这是A*B的前提条件，可见矩阵的乘法是不满足交换律的)。然而这些一般都是没什么用的，矩阵快速幂只会用到方阵(除非题目是裸的矩阵乘法)。矩阵快速幂都是方阵也就避免的相乘的前提条件，可以放心用。

(1)矩阵快速幂

就是算A^n;方法很简单，把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了

代码:

 const int N=10;
 int tmp[N][N];
 void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
 {
     memset(tmp,0,sizeof tmp);
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++)
         for(int k=1;k<=n;k++)
         tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++)
         a[i][j]=tmp[i][j];
 }
 int res[N][N];
 void Pow(int a[][N],int n)
 {
     memset(res,0,sizeof res);
     for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=1;
     while(n)
     {
         if(n&1)
             multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
         multi(a,a,n);//a=a*a
         n>>=1;
     }
 }

这代码看看就好，我的写法一般人不是很喜欢看，网上有很多种写法，比如用结构体存矩阵什么的，模板建议还是自己写的好，自己怎么写顺溜就怎么写呗，弄清楚原理就好。

不过上诉res数组就等同于普通快速幂初始化的1，原理想通的，这个矩阵叫单位矩阵E,性质就是E*A=A,就是1*a=a，一样，单位矩阵就是对角线全是1其他全是0；

最终算出的结果是一个res矩阵，具体有什么用就看下面的应用。

应用篇