数论素数筛之 樱花（详细分析）

题目背景

又到了一年樱花盛开的时节。Vani 和妹子一起去看樱花的时候，找到了一棵大大的樱花树，上面开满了粉红色的樱花。Vani 粗略估计了一下，一共有足足 n!n! 片花瓣。

Vani 轻柔地对她说：“你知道吗？这里面的一片花瓣代表着你，我从里面随机摘一片，能和你相遇的概率只有 1/n!1/n! 那么小。我该是多么的幸运，才让你今天这么近地站在我面前。相信我，我一定会把这亿万分之一的缘分变为永远。”

粉红的樱花漫天飞舞，妹子瞬间被 Vani 感动了。她轻轻地牵起了他的手，和他相依而坐。这时，她突然看到田野的尽头也长着两棵樱花树，于是慢慢地把头靠在 Vani 的肩上，在他耳边低语：“看到夕阳里的那两棵樱花树了吗？其中一棵树上的一片花瓣是你，另一棵树上的一片花瓣是我，如果有人从这棵摘下一片，从那棵采下一瓣，我们相遇的概率会不会正好是 1/n!1/n! 呢？”

Vani 的大脑飞速运作了一下，立即算出了答案。正要告诉妹子，她突然又轻轻地说：“以前你总是说我数学不好，但是这种简单的题我还是会算的。你看假如左边那棵树上有 xx 片花瓣，右边那个有 yy 片花瓣，那么我们相遇的概率不就是 1/x+1/y1/x+1/y 么，不过有多少种情况能使它正好可以等于 1/n!1/n! 呢？这个你就帮我算一下吧～”

显然，面对天然呆的可爱妹子，Vani 不但不能吐槽她的渣数学，而且还要老老实实地 帮她算出答案哦。

题目描述

输入格式
输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式
输出一行一个整数表示正整数解的组数

算法分析

这道题跟樱花有什么关系

第一次看这道题感觉没有任何的思路，当看了题解过后才明白这是一到数学妙题。

首先，这道题只有从这个等式入手，所以先通分。
所以得到：

$$y+x=\frac{xy}{n!}$$

之后再化简一下：
$$(y+x)\ast n!=xy$$
然后就到了很多人都想不到的一步，当然也是最重要的一步配方：


$n!$^$2$$+(y+x)\ast n!-xy=n!$


在组合一下：


$(x-n!)(y-n!)=$$n!$^$2$

所以原式就变为了一个$A\ast B=n!$形式的等式，于是这道题就可以转换为 $n!$^$2$ 可以分解为几个A·B的+形式。

进一步可以转换为 $n!$^$2$ 中有几个质数，题解就出来了。

代码很好打，主要是很难想到。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=1e6+5;
const int Mod=1e9+7;
long long pre[M];
bool flag[M];
long long Prime_xian(long long n){
	long long k=0;
	for(long long i=2;i<=n;i++){
		if(!flag[i]){
			pre[++k]=i;
		}
		for(long long j=1;j<=k&&pre[j]*i<=n;j++){
			flag[pre[j]*i]=1;
			if(i%pre[j]==0)
				break;
		}
	}
	return k; 
}
int main(){
	long long n;
	scanf("%lld",&n);
	long long k=Prime_xian(n);
	long long ans=1;
	for(long long i=1;i<=k;i++){
		long long tot=0;
		for(long long j=pre[i];j<=n;j*=pre[i])
			tot+=n/j;
		ans*=(tot*2+1)%Mod;
		ans%=Mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

注意：开$longlong$，最好用线筛。