UVa Problem 10003 Cutting Sticks （切割木棍）

// Cutting Sticks （切割木棍） // PC/UVa IDs: 111105/10003, Popularity: B, Success rate: average Level: 2 // Verdict: Accepted // Submission Date: 2011-10-14 // UVa Run Time: 0.548s // // 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net // // [解题方法] // 是否可以使用贪心法来解决？ // // 题目是具有最优子结构性质的。最优解是在某一个切割点进行切割，得到的两段棍子的切割费用之和最小值， // 设切割后棍子分为 A，B 两段，而棍子 A，B 各自的最小费用，同样是在各自某一切割点进行切割后，切割 // 费用和的最小值。 // // 但是本题的最优子结构能不能得出一个有效的贪心策略呢？ // // 第一种策略：如样例输入给出的第一组数据，在接近中心的切割点进行切割总费用是最小的，但是对于第二 // 组数据就不是这样。 // // 第二种策略，在这样的切割点进行切割：在此切割点切割后，左右两段棍子的长度尽量相等，这种策略对第 // 一组数据是适用的，但是对于第二组数据失效了。 // // 第三种策略，观察第二组测试数据，第一次切割点选在 4，然后形成一个长度为 6，需要切割点为 1，3，4 // 的棍子，刚好在 3 处切割，形成两根长度为 3 的棍子，此方案切割费用最小，为 22，那么是否可以将此 // 策略一般化？答案，否定，如以下测试数据： // // 10 // 1 2 3 7 // // 无法在第一次选择时做出决定，选 1 还是选 7 好。 // // 综上述，对于贪心法来说，似乎本题无法使用有效的策略来为每一步决定一个最优选择。 // // 使用动态规划如何？ // // 对于第一次切割，在任何一个切割点进行，都会将棍子切割成两段 A 和 B，很明显，最小切割费用应该是 // 对棍子 A 和 B 继续进行切割的费用和的最小值，当然对棍子 A 和 B 也应该是一样的，这样似乎有递归 // 的味道。那么不妨设 minCost[i][j] 为对第 i 个切割点起始至第 j 个切割点结束这段棍子的最小切割 // 费用，为了解题方便，假设有 k 个切割点，并设初始时棍子左端为第 0 个切割点，棍子右端为第 k + 1 // 个切割点，切割点 i 距离棍子左端的距离为 places[i]，则有以下递推关系： // // minCost[i][j] = min{minCost[i][j], minCost[i][c] + minCost[c][j] + (places[j] // - places[i])|i < c < j} // // 初始时，切割点 i 到 切割点 i + 1 的棍子切割费用为 0，因为两端都为切割点，无须再切割。在递归 // 求解时，可以使用表格式 DP 加快求解速度，因为本题的测试数据似乎很多。 #include using namespace std; #define min(a, b) ((a) <= (b) ? (a) : (b)) #define MAXCUTS 55 #define MAXCOST (1 << 20) int length, cuts; int places[MAXCUTS] = { 0 }; int minCost[MAXCUTS][MAXCUTS]; // 递归 + 表格式 DP。 int cost(int start, int end) { if (minCost[start][end] < MAXCOST) return minCost[start][end]; for (int i = (start + 1); i <= (end - 1); i++) { int tmpCost = cost(start, i) + cost(i, end); tmpCost += (places[end] - places[start]); if (tmpCost < minCost[start][end]) minCost[start][end] = tmpCost; } return minCost[start][end]; } int main(int ac, char *av[]) { int money; while (cin >> length, length) { // 在棍子两端新增两个切割点 0 和 length。 cin >> cuts; for (int i = 1; i <= cuts; i++) cin >> places[i]; places[cuts + 1] = length; // 若切割次数大于 0 才计算。 money = 0; if (cuts) { for (int i = 0; i < MAXCUTS; i++) for (int j = 0; j < MAXCUTS; j++) minCost[i][j] = MAXCOST; for (int i = 0; i <= cuts; i++) minCost[i][i + 1] = 0; cost(0, cuts + 1); money = minCost[0][cuts + 1]; } cout << "The minimum cutting is " << money << ".\n"; } return 0; }