C++经典算法题-数字拆解

31.Algorithm Gossip: 数字拆解

说明

这个题目来自于 数字拆解，我将之改为C语言的版本，并加上说明。题目是这样的：

3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共 五 种
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1

共七种

依此类推，请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个？
解法
我们以上例中最后一个数字5的拆解为例，假设f( n )为数字n的可拆解方式个数，而f(x, y)为使用y以下的数字来拆解x的方法个数，则观察：

5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1

使用函式来表示的话：
f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,4) + f(0,5)

在这里插入代码片

其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1)，但是使用大于1的数字来拆解1没有意义，所以f(1, 4) = f(1, 1)，而同样的，f(0, 5)会等于f(0, 0)，所以：

f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,1) + f(0,0)

依照以上的说明，使用动态程式规画（Dynamic programming）来进行求解，其中f(4,1)其实就是f(5-1, min(5-1,1))，f(x, y)就等于f(n-y, min(n-x, y))，其中n为要拆解的数字，而min()表示取两者中较小的数。

使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y)，刚开始时，将每列的索引0与索引1元素值设定为1，因为任何数以0以下的数拆解必只有1种，而任何数以1以下的数拆解也必只有1种：

for(i = 0; i < NUM +1; i++){
	table[i][0] = 1; 
	// 任何数以0以下的数拆解必只有1种table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
}

接下来就开始一个一个进行拆解了，如果数字为NUM，则我们的阵列维度大小必须为NUM x (NUM/2+1)，以数字10为例，其维度为10 x 6我们的表格将会如下所示：

1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0
1	1	2	0	0	0
1	1	2	3	0	0
1	1	3	4	5	0
1	1	3	5	6	7
1	1	4	7	9	0

1	1	4	8	0	0
1	1	5	0	0	0
1	1	0	0	0	0

代码示例

#include  
#include 
#define NUM 10	//	要拆解的数字
#define DEBUG 0

    int main(void) {
        int table[NUM][NUM/2+1] = {0}; // 动态规画表格
        int count = 0; int result = 0; int i, j, k;

        printf("数字拆解\n");
        printf("3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法\n");
        printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1");
        printf("共五种\n");
        printf("5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1");
        printf(" = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1");
        printf("共七种\n");
        printf("依此类推，求 %d 有几种拆法？", NUM);

        // 初始化
        for(i = 0; i < NUM; i++){
            table[i][0] = 1;	//  任何数以0以下的数拆解必只有1种
            table[i][1] = 1;	//  任何数以1以下的数拆解必只有1种
        }

        // 动态规划
        for(i = 2; i <= NUM; i++){ for(j = 2; j <= i; j++){
            if(i + j > NUM) // 大 于 NUM continue;

                count = 0;
            for(k = 1 ; k <= j; k++){
                count += table[i-k][(i-k >= k) ? k : i-k];
            }
            table[i][j] = count;
        }
        }

        // 计算并显示结果
        for(k = 1 ; k <= NUM; k++)
            result += table[NUM-k][(NUM-k >= k) ? k : NUM-k]; printf("\n\nresult: %d\n", result);

        if(DEBUG) {
            printf("\n除错资讯\n"); for(i = 0; i < NUM; i++) {
                for(j = 0; j < NUM/2+1; j++) printf("%2d", table[i][j]);
                printf("\n");
            }
        }

        return 0;
    }