兔兔 的 总结 —— 质数筛法 (模板)

质数筛法

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什么是质数？

质数，也称为 素数。指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和 $它本身$ 以外不再有其他因数的数。(兔兔的理解：有且仅有 $2$ 个正因数的自然数)

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朴素筛法

根据素数的定义，我们只要判断一个数的因数个数是否为 $2$ 即可。

memset(check, false, sizeof(check));
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	for (int j = 1; j <= i; j++)
		if (i % j == 0) ++ tot;
	if (tot == 2) check[i] = true;
}

或者判断这个数能不能被除了 $1$ 和 $它本身$ 之外的数整除。

memset(check, false, sizeof(check));
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	check[i] = true;
	for (int j = 2; j < i; j++)
	{
		if (i % j == 0)
		{
			check[i] = false;
			break;
		}
	}
}

当然，这两种方法的本质是一样的，实际上是同一种方法。
这种方法还可以优化时间复杂度：

memset(check, false, sizeof(check));
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	check[i] = true;
	for (int j = 2; j <= sqrt(i); j++) // 一个合数必有一个因数 m , 使得 1 < m <= sqrt(这个数)
	{
		if (i % j == 0)
		{
			check[i] = false;
			break;
		}
	}
}

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Eratosthenes筛法 (埃氏筛法)

check[0] = check[1] = false;
for (int i = 2; i <= n; i++) check[i] = true;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	if (!check[i]) continue;
	for (int j = i * i; j <= n; j++) check[j] = false;
}

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线性筛法 (欧拉筛)

memset(prime, false, sizeof(prime);
cnt = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) check[i] = true;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
	if (check[i] == true) prime[++cnt] = i;
	for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < n; j++)
	{
		check[i * prime[j]] = false;
		if (i % prime[j] == 0) break;
	}
}

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