矩阵的行初等变换

行初等变换的概念

---

对矩阵的初等变换主要包括以下三种操作：

• 将某行乘以 $(c̸=0)$；
• 将某行的 $c$ 倍加到另外一行上；
• 交换两行；

与行初等变换类似的有一个列初等变换，操作是在列上进行，同时一个矩阵要实现列初等变换：需要右乘列初等变换矩阵。

初等变换的实现

---

初等变换的三种操作都可以 “左乘一个矩阵” 来实现，比如，对于矩阵：
假设存在矩阵：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right)$$

• 将第 $3$ 行乘以 $5$：(左)乘以 将单位矩阵的 $(3,3)$ 元素替换成 $5$ 得到矩阵 $Q_3(5)$：也可以理解为：要将第三个维度进行拉伸 ；
  $$Q_3(5)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$
  $$\begin{array}{rl}{Q}_3(5)A& =\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -10& -10& 15& 10\end{array}\right]\end{array}$$

• 将 $1$ 行乘以 $10$ 加到第 $2$ 行上：(左)乘以将单位矩阵的第 $1$ 行乘以 $10$ 加到第 $2$ 行上得到矩阵 $R_{2,1}(10)$ ：
  $$R_{2,1}(10)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 10& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
  $$\begin{array}{rl}{R}_{2,1}(10)A& =\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 10& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 23& 34& 32& 99\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\end{array}$$

• 交换第 $1$ 行和第 $3$ 行：(左)乘以将单位矩阵交换第 $1$ 行和第 $3$ 行得到矩阵 $S_{1,3}$：
  $$S_{1,3}=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
  $$\begin{array}{rl}{S}_{1,3}A& =\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}-2& -2& 3& 2\\ 3& 4& 2& 9\\ 2& 3& 3& 9\end{array}\right]\end{array}$$

总结，对矩阵的初等变换都可以通过左乘如：$Q_i(c),R_{i,j}(c),S_{i,j}$ 来实现。

初等变换的性质

---

• 若方阵 $A$ 可逆，则一定可以通过初等变换得到单位矩阵 $I$；
• 针对行初等变换矩阵：$Q_i(c),R_{i,j}(c),S_{i,j}$，若 $c̸=0,i̸=j$，行初等变换矩阵都是可逆的，并有如下等式：
  $$\begin{array}{rl}{Q}_i(c{)}^{-1}& =Q_i(1/c)\\ R_{i,j}(c{)}^{-1}& =R_{i,j}(-c)\\ S_{i,j}^{-1}& =S_{i,j}\end{array}$$

初等变换矩阵的行列式

---

行列式可以理解为空间扩大率，初等变换矩阵的行列式如下：

• $\det Q_i(c)=c$ ：相当于把空间扩大了 $c$ 倍；
• $\det R_{i,j}(c)=1$ ：只是把空间进行了偏移，空间大小并没有改变；
• $\det S_{i,j}=-1$ ：只是把空间进行了镜像，空间大小不变，方向改变；

由以上性质可得：

• 将第 $i$ 行乘以 $c$，行列式为原来的 $c$ 倍：$$\det \left(Q_i(c)A\right)=\left(\det Q_i(c)\right)(\det A)=c\det A$$
• 将第 $j$ 行乘以 $c$ 加到第 $i$ 行，行列式值不变：$$\det \left(R_{i,j}(c)A\right)=\left(\det R_{i,j}(c)\right)(\det A)=\det A$$
• 交换第 $i,j$，行列式的正负号改变，等价于：$$\det \left(S_{i,j}A\right)=\left(\det S_{i,j}\right)(\det A)=-\det A$$