背包问题
背包问题
- 01背包
信息奥赛一本通1267：【例9.11】01背包问题
【题目描述】
一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。
【输入】
第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；
第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。
【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
01背包中，每一种物品只有选与不选两种情况
设f[i][j]表示选完前i件物品且总重量不超过j时能获得的最大价值
考虑第i件物品，当前重量为j：
若选：
价值为选前i-1件物品重量为当前重量减去w[i]时价值加上c[i]，即f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+c[i]
若不选：
价值为选前i-1件物品重量为当前重量时价值，即f[i][j]=f[i-1][j]
综上 f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+c[i],f[i-1][j])
写出代码发现f[i]总会把前面的f[i-1]覆盖，因此没有使用二维数组的必要，一维数组足够了
—注意由于f[i][j]数值与f[i-1][j-w[i]]有关，我们必须保证f[j-w[i]]在f[j]之后更新
#include
#include
using namespace std;
int a[35];
int w[35],c[35];
int f[205];
int main(){
int n,m;
cin>>m>>n;
for(int i=0;i>w[i]>>c[i];
}
for(int i=0;i=w[i];--j)//没错就是倒序更新j啦
{
f[j]=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j]);
}
}
cout< - 完全背包
信息奥赛一本通1268：【例9.12】完全背包问题
【题目描述】
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
【输入】
第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；
第2…N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
先上代码：
#include
#include
using namespace std;
int a[35];
int w[35],c[35];
int f[205];
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=0;i 有没有发现什么
除了j的循环变为正序之外，跟01背包一模一样
完全背包是一种神奇的背包，每种物品无数种选法…
假设第i种物品选k件，不就是选了k-1件后，又选了一件i物品吗
那么选了k-1件时的价值哪里来
当然是更新了的f[i]啊
此时状态转移方程变为 f[i][j]=max(f[i][j-w[i]]+c[i],f[i][j])
在一维数组中就是j的正序和f[j]=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j])了
所以说好的k呢
其实如果真要在代码中写出这个k来，大概是这样子的：
for(int i=0;ij)
break;
f[j][i]=max(f[j-w[i]]+c[i][i],f[j][i]);
}
}
}
因为k可以到无穷大，跳出的条件只有j装不下k个i物品了
这样有没有k根本没区别嘛…
- 多重背包
信息奥赛一本通1269：【例9.13】庆功会
【题目描述】
为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
【输入】
第一行二个数n(n≤500)，m(m≤6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。
接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和能购买的最大数量（买0件到s件均可），其中v≤100，w≤1000，s≤10。
【输出】
一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。
这个好像有点麻烦了，有限制的件数要怎么体现呢
三重循环？
我就是这样栽的嘛…
笨笨的办法，就是一种物品s件看成s种物品
这样占空间有点多，不太可取，不过分物品的思路是不错的
比较简单有效的一种分法是使用二进制
每个数都可以用二进制表示，都可以用2的倍数相加表示，所以是一定可行的
分完就是个01背包啦
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
int v[5005],w[5005];
int l;
int vv,ww,s;
int f[6005];
int main(){
cin>>n>>m;
l=0;
for(int i=0;i>vv>>ww>>s;
int k=1;
while(s>k)
{
s-=k;
v[l]=k*vv;
w[l]=k*ww;
k*=2;
l++;
}
//余数别忘了存起来
v[l]=s*vv;
w[l]=s*ww;
l++;
}
for(int i=0;i=v[i];--j)
{
f[j]=max(f[j-v[i]]+w[i],f[j]);
}
}
cout< - 混合背包
信息奥赛一本通
【题目描述】
一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn，它们的价值分别为C1,C2,…,Cn。有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
【输入】
第一行：二个整数，M(背包容量，M≤200)，N(物品数量，N≤30)；
第2…N+1行：每行三个整数Wi,Ci,Pi，前两个整数分别表示每个物品的重量，价值，第三个整数若为0，则说明此物品可以购买无数件，若为其他数字，则为此物品可购买的最多件数(Pi)。
【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
这下可好，三种背包一起来了,
不过如果掌握了前三种，这种可能是最简单的了
不就是三种背包，我分类讨论还不行吗！
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
int l=0;
int ww,cc,pp;
int w[205],c[205],p[205];
int f[205];
int main(){
cin>>m>>n;
for(int i=0;i>ww>>cc>>pp;
if(!pp)//完全背包
{
w[l]=ww;
c[l]=cc;
p[l]=0;
l++;
}
else//01背包或者多重背包（其实分完都一样的啦）
{
int k=1;
while(pp>k)
{
pp-=k;
w[l]=k*ww;
c[l]=k*cc;
p[l]=k;
l++;
k*=2;
}
w[l]=pp*ww;
c[l]=pp*cc;
p[l]=pp;
l++;
}
}
for(int i=0;i=w[i];--j)
{
f[j]=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j]);
}
}
}
cout<