[NOIP 2004] 虫食算 (深搜+剪枝)

题目描述

所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：

 43#9865#045
+  8468#6633
 44445509678

其中 # 号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是 5 和 3，第二行的数字是 5。

现在，我们对问题做两个限制：

首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是 n 进制加法，算式中三个数都有 n 位，允许有前导的 0。

其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是 n 进制的，我们就取英文字母表的前 n 个大写字母来表示这个算式中的 0 到 n - 1 这 n 个不同的数字：但是这 n 个字母并不一定顺序地代表 0 到 n-1。输入数据保证 n 个字母分别至少出现一次。

 BADC
+CBDA
 DCCC

上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让 ABCD 分别代表 0123，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的 n 进制加法算式，求出 n 个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入格式

输入的第一行是一个整数 n，代表进制数。

第二到第四行，每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这 33 个字符串左右两端都没有空格，从左到右依次代表从高位到低位，并且恰好有 n 位。

输出格式

输出一行 n 个用空格隔开的整数，分别代表 A,B,… 代表的数字。

输入输出样例

输入

5
ABCED
BDACE
EBBAA

输出

1 0 3 4 2

说明/提示

数据规模与约定

对于 30% 的数据，保证 n≤10；
对于 50% 的数据，保证 n≤15；
对于 100% 的数据，保证 1≤n≤26。

P1092 虫食算 luogu

分析：

听说这道题的正解是高斯消元，但我不会，所以这里提供一种深搜+剪枝的方法。

难点1：n进制加法。接触可能较少，一般接触的都是十进制，所以说一些加减过程可能会比十进制稍困难，不过也挺简单，把十进制的满十进一改为满n进一，总的来说就是把所有十换成n即可。

难点2：怎么剪枝？通过分析，可以分析出：1.如果后面的没进位的话那么会有：(加数1的第k位 + 加数二的第k位) mod n = 和的第k位。2.如果后面的进位了也会有：加数(加数1的第k位 + 加数二的第k位 + 1) mod n = 和的第k位。所以我们只需判断如果有一位k，加数(加数1的第k位 + 加数二的第k位) mod n 与加数(加数1的第k位 + 加数二的第k位 + 1) mod n 都不等于和的第k位，那么这样的情况是不合法的，只需剪掉这样的情况即可。

这里给出剪枝代码:

bool pd() {
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int u = ans[a[i]],v = ans[b[i]],z = ans[c[i]];
		//ans[a[i]],ans[b[i]],ans[c[i]]分别表示加数一、加数二与和的第i位
		if(u == -1 || v == -1 || z == -1)//如果这个地方还没有被赋过值，跳过
		continue;
		if((u + v) % n != z && (u + v + 1) % n != z)//如果不合法
		return false;
	}
	return true;
}

难点3：怎么判断答案合不合法？这一个步骤不难，当已将搜索完了n个字母后，将每一个加数与和求出，判断是否相等即可。
给出代码,略过:

bool check() {
	int ans1 = 0,ans2 = 0,ans3 = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		ans1 = ans1 * n + ans[a[i]];
		ans2 = ans2 * n + ans[b[i]];
		ans3 = ans3 * n + ans[c[i]];
	}
	return ans1 + ans2 == ans3;
}

简单理一下，现将字符转化成数字保存下来，再用一个数组存储，以方便深搜，与处理好后开始深搜，按照字母个数深搜，在中间设一个剪枝，减去不合适的，让后枚举字符，判断是否出现过，如果没出现过便向下搜，直到搜到有答案，并且答案正确为止。

代码:

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 30;
int n,num;
int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],vis[MAXN],ne[MAXN],ans[MAXN];
char s1[MAXN],s2[MAXN],s3[MAXN];
void Get(int x) {//存储
	if(!vis[x]) {
		vis[x] = 1;
		ne[++ num] = x;
	}
}
bool check() {//判断答案
	int ans1 = 0,ans2 = 0,ans3 = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		ans1 = ans1 * n + ans[a[i]];
		ans2 = ans2 * n + ans[b[i]];
		ans3 = ans3 * n + ans[c[i]];
	}
	return ans1 + ans2 == ans3;
}
bool pd() {//剪枝
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int u = ans[a[i]],v = ans[b[i]],z = ans[c[i]];
		if(u == -1 || v == -1 || z == -1)
		continue;
		if((u + v) % n != z && (u + v + 1) % n != z)
		return false;
	}
	return true;
}
void dfs(int x) {//搜索
	if(x == n + 1) {
		if(check()) {
			for(int i = 0;i < n;i ++)
			printf("%d ",ans[i]);//输出答案
			exit(0);
		}
		return;
	}
	if(!pd())
	return;
	for(int i = n - 1;i >= 0;i --) {
		if(!vis[i]) {//没出现过
			vis[i] = 1;
			ans[ne[x]] = i;
			dfs(x + 1);
			ans[ne[x]] = -1;
			vis[i] = 0;
		}
	}
	return;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s%s%s",s1 + 1,s2 + 1,s3 + 1);
	for(int i = n;i >= 1;i --) {
		a[i] = s1[i] - 'A';//字符转数字
		b[i] = s2[i] - 'A';
		c[i] = s3[i] - 'A';
	}
	for(int i = n;i >= 1;i --) {
		Get(a[i]);//存储
		Get(b[i]);
		Get(c[i]);
	}
	memset(ans,-1,sizeof(ans));
	for(int i = n;i >= 0;i --)
	vis[i] = 0;
	dfs(1);//开搜
	return 0;
} 

结束