线性不定方程与线性同余方程

线性不定方程解法

• 扩展欧几里得算法:

　　考虑求这个不定方程的一个解：
　　　　　　　　　　　　 ax+by=c

1. 可以证明该不定方程有解的充分必要条件是(a，b) | c。
   证明:(a，b) | a且(a，b) | b，因为c=ax+by，故(a，b) | c。
2. 于是可以把等式两边同时除上一个(a，b)转化为a，b互质的情况。
3. 考虑a，b互质的情况。我们现在要解不定方程：
   　　　　                                        ax+by=c
   先假设我们可以解出：
                                                          bx+（a mod b）y=c
   那么有：
   　　　　　　                                  ax₁+by₁=c,
                                                           bx₂+(a-[a/b])y₂=c
   对应一下a，b的系数可以得到：
   　　                                                     x₁=y₂,
                                                               y₁=x₂-[a/b]y₂
   因为互质，所以最后一定能递推到a=1，b=0的情况，因为我们就相当在做辗转相除，而(a,b)=1,这时候不断回代就可以得到x₁,y₁。

　　　附上代码：
　　　

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b) exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    else x=1,y=0;
}

•  二元一次不定方程：

          形如:
　　   　　　ax+by=c,a≠0，b≠0
　　   的不定方程称为二元一次不定方程。

1. 方程有解当且仅当(a，b) | c时。
2. 将方程两边除上(a,b)得到a^'，b^'互质的情况,然后用扩展欧几里得算法解出其一个特解，表示为x₁,y₁。
3. 那么原方程组的通解可以表示为x=x₁+(b/(a，b))t，y=y₁-(a/(a，b))t    t∈Z。
   证明：由x1，y1可得方程组：
                                                                 a'x+b'y=c'，
                                                                 a‘x₁+b‘y₁=c‘
   两式相减得:
                                                          a'(x-x₁)=b'(y₁-y)
   因为(a'，b'）=1，所以x-x₁=b‘t，y₁-y=a‘t，整理可得x=b’t+x₁，y=y₁-b^‘t。

• n元一次不定方程:

         形如： 
                  a₁x₁+a₂x₂+ •••• +a_nx_n=c,a_i≠0
         的方程称为n元一次不定方程。

1. 方程有解的充要条件：（a₁，a₂，•••• ，a_n）| c。
2. 引入新变量t₁，t₂，••••，t_n-2将不定方程拆为：
                                                           a₁x₁+a₂x₂=d₁t₁                   d₁=(a₁，a₂)
                                                           d₁t₁+a₃x₃=d₂t₂                    d2=(d₁，a₃)
                                                           ••••
                                                           d_n-3t_n-3+a_n-1x_n-1=d_n-2t_n-2   d_n-2=(d_n-3,a_n-1)
                                                           d_n-2t_n-2+a_nx_n=c
   这n-1个不定方程，将等号右边的t看作常量，去等号左边的t看作是变量，求解最后一个不定方程然后回代t就好了。
   
   

一元线性同余方程（组）解法

• 一元线性同余方程:

　　  形如：
                 ax Ξ b (mod m)
       的方程称为一元同余方程，其等价形式为：
                                                                          ax-my=b
       用解二元一次不定方程的解法即可解。

• 一元线性同余方程组：

　　  形如：
                   x Ξ b₁ (mod m₁)
                   x Ξ b₂ (mod m₂)
                   ••••
                   x Ξ b_n (mod m_n)
         的方程组称为一元线性同余方程组。一般有两种解法。

• 合并法(exCRT)

　　　由
                      x Ξ b₁ (mod m₁)
                      x Ξ b₂ (mod m₂)
           可得：
                      x=b₁+m₁y₁ (*)
                      x=b2+m2y2
　　　两式相减得到:
　　　　　　　　　m₁y₁-m₂y₂=b₁-b₂
　　　若该不定方程无解，则原同余方程组无解。若有解，设其中一个特解为z₁，同余方程组的一个特解为x_1。
             其通解y1=z1+(m2/(m1，m2))t,带入方程(*)得到：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x=b₁+m₁z₁+(m1m2/(m₁，m₂))t  (**)
　　　又由特解z₁带入方程(*)得到：
　　　　　　　　　　　　　　　           　x₁=b₁+m₁z₁
           带入方程(**)得到：
　　　　　　　　　　                                x=x₁+(m1m2/(m₁，m₂))t=x₁+lcm(m₁,m₂)t
　　    方程等价于：
　　　　　　　　                                       x Ξ x₁ (mod lcm(m₁,m₂))
　　    将同余方程不断照这样合并，最后得到的就是原同余方程的解。

• 中国剩余定理(CRT)

　　 当m₁，m₂，•••• ，m_n 两两互质的时候，则对于任意整数b₁，b₂，•••• ，b_n 此同余方程组都有解。且可以通过下面的方法构造解。
　　 设M=Π_1≤i≤nm_i，并设M_i=M/m_i，设M_i^-1是M_i在mod m_i意义下的逆元。则同余方程组的解为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　   x=Σ_1≤i≤nbiM_i^-1M_i　　　　　　　

　　证明：对任意m_i，都有x mod m_i=Σ_1≤i≤nbiM_i^-1M_i mod m_i = b_i（根据M的定义，M mod mi为0且除Mi以外其他的Mj中均含有mi，故模mi值也为0,而M_i^-1M_i mod m_i的值为1）
　　　　　这说明x是原同余方程的解。设x₁与x₂均为原同余方程的解，那么有：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　   x₁-x₂ Ξ 0 (mod m_i)
　　　　　因为m_i均互质，所以M | x₁-x₂，所以解均相差k个M，故在Σ_1≤i≤nbiM_i^-1M_i后面加上kM构成x=kM+Σ_1≤i≤nbiM_i^-1M_i。
　　m_i不是两两互质可以拆成两两互质。

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